Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

Questão 3: Calcule a integral de linha do campo vetorial F x ,   y = 0 ,   e x ao longo da curva dada pela equação x 2 + 3 x - y = 0 , do ponto - 1 ,   - 2 até o ponto 1 ,   4 .

Passo 1

Bem, a primeira coisa que vamos fazer aqui é deixar bem claro o que o problema nos pede e ora, o que ele quer é que calculemos uma integral de linha, então...

∫ C   F → ⋅ d r →

Pra resolvê-la, vamos como sempre, começar parametrizando a curva C , certo?

Passo 2

CERTO! Vamos de fato parametriza-la, e veja que a equação dessa curva, é quase uma equação explícita...

x 2 + 3 x - y = 0

Jogando o y pro outro lado...

y = x 2 + 3 x

OPA! É uma parábola =). E veja que agora ela está escrita de forma explícita, sugerindo uma parametrização também explícita, onde...

x = t

E o y já fica direto em função do parâmetro...

y = t 2 + 3 t

Basicamente essa já é a parametrização, mas por questão de estética, costumamos escrever a parametrização dessa forma aqui oh:

r → t = t ,   t 2 + 3 t

Assim, dado um valor do parâmetro, você tem o ponto correspondente da curva, saca?

Passo 3

Gostaria de dizer que a parametrização é só isso, mas estaria mentindo pra você. Existe ainda uma parte extremamente importante: definir o intervalo onde o parâmetro está variando.

Pra isso, vamos usar a informação de início e fim da curva que o problema nos disse:

do ponto - 1 ,   - 2 até o ponto 1 ,   4

Para encontrar onde o parâmetro inicia...

- 1 ,   - 2 = t ,   t 2 + 3 t

Veja que quando t = - 1 , temos o referido ponto. Vamos só repetir para o ponto final:

1 ,   4 = t ,   t 2 + 3 t

Ou seja, t = 1 é o último ponto. Logo, agora sabemos que o t só pode estar variando entre...

- 1 ≤ t ≤ 1

Passo 4

Outra parada importante antes de retornar para a integral é encontrar o termo d r → , dado por...

d r → = r → ' t d t     →

d r → = t ,   t 2 + 3 t ' d t     →

Lembre-se que derivar vetor é derivar todas as coordenadas dele...

d r → = 1 ,   2 t + 3 d t  

Passo 5

A última coisa é trocar os termos da função F → x ,   y pelos termos da parametrização...

F x ,   y = 0 ,   e x       →

Como x = t ...

F r → t = 0 ,   e t

Passo 6

Sem mais delongas, bora voltar para a integral e substituir tudo:

∫ C   F → ⋅ d r → = ∫ - 1 1 0 ,   e t ⋅ 1 ,   2 t + 3 d t =

Calculando o produto escalar desses vetores...

∫ - 1 1 0 ,   e t ⋅ 1 ,   2 t + 3 d t = ∫ - 1 1 e t 2 t + 3 d t

Agora é só integrar mesmo! No caso, fazendo integração por partes...

u = 2 t + 3           →               d u = 2 d t

d v = e t         →       v = e t

Pela fórmula de integração por partes...

∫     u   d v = u ⋅ v - ∫     v   d u       →

∫     2 t + 3   e t = ( 2 t + 3 ) e t - ∫     2 e t   d t       →

∫     2 t + 3   e t = 2 t + 3 e t - 2 e t + C

Voltando para a integração definida...

∫ - 1 1 e t 2 t + 3 d t =   2 t + 3 e t - 2 e t + C   - 1 1 =

2 + 3 e 1 - 2 e 1 + C - - 2 + 3 e - 1 - 2 e - 1 + C =

3 e + C - - e - 1 + C =

3 e + 1 e

Resposta

3 e + 1 e

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