Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. (aviso: resposta errada ou resposta certa sem justificativa receberá zero no item respectivo).

Se C é o círculo unitário com centro na origem, então:

∮ C   x x 2 + y 2 d x - y x 2 + y 2 d y = 0

Passo 1

Como o campo tem uma singularidade na origem (que está dentro de C ), não vamos aplicar Green aqui, pois teríamos que removê-la da região de integração.

Vamos calcular essa integral de linha pela definição mesmo. A primeira coisa a fazer é parametrizar C , em coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

Como o círculo é unitário, r = 1 :

x = cos ⁡ θ

y =   s e n   θ

Então, temos a parametrização:

σ → θ = cos ⁡ θ , s e n   θ

Onde 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Passo 2

Agora, vamos derivar isso aí:

σ → ' θ = - s e n   θ , cos ⁡ θ

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula:

∫ C   F . d r = ∫ a b F σ → θ . σ → ' θ d θ

Escrevendo o campo nas variáveis da parametrização:

F σ → θ = cos ⁡ θ 1 , - s e n   θ 1

Levando para a integral, temos:

∫ C   F . d r = ∫ 0 2 π cos ⁡ θ , - s e n   θ - s e n   θ , cos ⁡ θ d θ

= - 2 ∫ 0 2 π s e n   θ cos ⁡ θ d θ =

Passo 4

Resolvendo isso aí:

= - 2 1 2 s e n 2 θ 0 2 π =

= 0

Resposta

Verdadeira.

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