Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

4 . Calcule

∫ C x 2 + y 2 d x - x d y

onde C é a porção do círculo x 2 + y 2 = 1 no primeiro quadrante percorrida no sentido do ponto ( 0,1 ) para o ponto ( 1,0 ) .

Passo 1

Para resolver esse exercício precisamos parametrizar essa curva, felizmente uma porção do círculo no primeiro quadrante e essa parametrização vai ser bem tranquilinha.

Não acredita? Então chega aí que eu vou te mostrar.

Passo 2

Vamos parametrizar x e y de modo que:

x = cos ⁡ t   e   y = sen ⁡ t

Então:

d x = - sen ⁡ t   e   d y = cos ⁡ t

Como o enunciado diz que quer a porção só no primeiro quadrante então 0 a 0 ≤ t ≤ π / 2 , montando a integral temos:

∫ 0 π / 2 c o s 2   t + s e n 2 t ⋅ - sen ⁡ t - cos ⁡ t cos ⁡ t   d t

Mas pera pera pera, o enunciado diz que a orientação é no sentido do ponto ( 0,1 ) para o ponto ( 1,0 ) então deveria ser:

∫ π 2 0 1 ⋅ - sen ⁡ t - cos ⁡ t cos ⁡ t       d t = - ∫ 0 π 2 - sen ⁡ t - cos 2 ⁡ t d t =

= - ∫ 0 π 2 - sen ⁡ t d t + ∫ 0 π 2 1 + cos ⁡ 2 t 2 d t = - cos ⁡ t + 1 2 t + 1 4 sen ⁡ 2 t 0 π 2 =

= - 0 + π 4 + 0 - - 1 + 0 + 0 = π 4 + 1

Prontinho, mais uma pra conta!

Resposta

∫ C x 2 + y 2 d x - x d y = π 4 + 1

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