Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

Uma partícula de peso w desce de 0,4 a 2,0 ao longo da parábola y = 4 - x 2 . Agem sobre a partícula a força de gravidade e também uma força horizontal dirigida para a direita, de módulo igual à coordenada y do ponto. Determine o trabalho realizado por essas duas forças.

Passo 1

Ele quer o valor do trabalho e sabemos que um trabalho a essa altura do campeonato é nos dado por...

W = ∫ C F → ∙ d s →

Escrito na forma usual (na forma como vamos trabalhar) vamos ter

W = ∫ a b F → x t , y t ∙ σ → ' t d t

O nosso trabalho será basicamente então achar essa força e uma parametrização do caminho. Vamos começar pela força. Venha comigo!

Passo 2

O problema nos disse que a força grandona F → do qual queremos o trabalho é resultante de outras duas forças:

1º A força horizontal f 1 → , onde o problema afirma ser para a direita, logo ela é múltipla do vetor 1 ,   0 e tem módulo igual à coordenada y do ponto. Logo...

f 1 → = y 1 ,   0 = y ,   0

2º A força vertical f 2 → é o próprio peso, e como ela está apontada para baixo ela é múltipla do vetor 0 ,   - 1 ... Seu módulo é igual ao próprio peso w :

f 2 → = w 0 ,   - 1 = 0 ,   - w

Logo, a força resultante F → é a soma das duas:

F → = f 1 → + f 2 →

F → = y ,   0 + 0 ,   - w   →

F → x , y = y ,   - w

Passo 3

Vamos achar agora a parametrização! Essa é a parábola y = 4 - x 2 que a partícula descreve:

Se chamarmos x = t , o y já sai em função do parâmetro t , ou seja, podemos realizar uma parametrização explícita

x t = t

y t = 4 - t 2

Então

σ → t = t , 4 - t 2

Se ele vai do ponto 0,4 ao ponto 2,0   podemos ver que t vai de 0 a 2 , que é a coordenada x

t ∈ 0,2

Passo 4

Precisamos, agora, achar σ → t '

σ → t = t , 4 - t 2     →         σ → ' t = 1 , - 2 t

Passo 5

Retornando para a integral que buscamos a solução

W = ∫ a b F → x t , y t ∙ σ → ' t d t

e substituindo os caras que encontramos, não esquecendo de trocar F → x , y = y ,   - w pelos termos do parâmetro t ...

∫ 0 2 4 - t 2 , - w ∙ 1 , - 2 t d t

⇒ ∫ 0 2 4 - t 2 + 2 t w d t = 4 t - t 3 3 + 2 w t 2 2 t = 0 2 =

4 t - t 3 3 + w t 2 t = 0 2

⇒ 4.2 - 2 3 3 + w 2 2 - 0 = 8 - 8 3 + 4 w = 16 3 + 4 w

Resposta

16 3 + 4 w

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