Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

Ver Teoria

Enunciado

Sejam   F → x , y = c o s c o s   e x 2   ,   y 4 + x e a curva γ t = 1 - t , t com - 1 ≤ t ≤ 1 . Então ∫ γ F → ∙ d r →   é:

  1. - 5 3
  2. 2 5
  3. - 2 5
  4. 7 5
  5. 5 3

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?

Temos que calcular então o trabalho de um campo de forças sobre um caminho.

AAN? Isso mesmo, quando nós temos algo do tipo ∫ F → ∙ d r → significa a integral do trabalho, e havendo o caminho, por exemplo γ a integral do trabalho sobre esse caminho é dado por ∫ γ F → ∙ d r →   . assim:

W = ∫ γ F → ∙ d r →

“então ok... Como eu posso resolver isso, Mogli?” Existem diversas maneiras, a mais simples e geral, é pela parametrização da curva, e uma vez parametrizada a curva podemos aplicar ao campo de forças e ver como o campo de forças reage a esse caminho.

Como assim, né? Veja:

W = ∫ γ F → ∙ d r → = ∫ a b F → γ t γ ' t d t

Sendo a e b os limites de integração para t . Isso facilita e muito, né?! Bora lá?!

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Temos então que:

γ t = 1 - t , t

E agora nós temos dois trabalhos: derivar a curva e aplicá-la ao campo de forças. Qual quer fazer primeiro? Eu costumo derivar, mas você pode fazer como quiser 😊

Assim:

γ ' t = - t t , 1

Aplicando em F → :

F → γ t = c o s c o s   e x 2   ,   y 4 + x = c o s c o s   e 1 - t 2   , t 4 + 1 - t

E ponto, temos tudo já que precisamos!

Passo 3

Assim:

∫ a b F → γ t γ ' t d t = ∫ - 1 1 c o s c o s   e 1 - t 2   , t 4 + 1 - t ∙ - t t , 1 d t  

Aplicando o produto interno:

∫ - 1 1 e 1 - t 2   t t + t 4 + 1 - t ⁡ d t  

Sabendo que a integral da soma é a soma das integrais, podemos fazer:

∫ - 1 1 e 1 - t 2   t t   d t +   ∫ - 1 1 t 4   d t + ∫ - 1 1 1   d t - ∫ - 1 1 t   d t

E agora podemos fazer as integrais uma a uma.

Passo 4

Para ∫ - 1 1 e 1 - t 2   t t   d t

Aqui é necessária uma malandragem da nossa, parte. Como assim? Essa é uma função extremamente complicada de complicada, e bom, para uma prova de 2h um professor – pelos menos ajuizado hahaha- não faria isso. Então há alguma técnica por detrás que facilite isso,

Bom, sabemos que a integral simétrica de uma função ímpar é nula. Como assim? Se nós temos uma função ímpar ( f x = - f ( - x ) ) em um intervalo simétrico ( - 1 até 1, - 5 até 5 ), então essa integral é nula. Como sei disso? Veja o seno, por exemplo, bom, o seno é uma função ímpar, e vamos ver seu intervalo?

Veja que tudo que está de um lado está o oposto do outro, de forma que eles se cancelam.

Agora sabendo disso, vamos ver se nossa função é ímpar?

e 1 - t 2   t t

Se fizermos t → - t :

c o s c o s   e 1 - t 2   t t

VEJA, ELA É ÍMPAR E EM UM INTERVALO SIMÉTRICO, LOGO ELA É NULA!! Por essa o seu professor não esperava né hehuehe

Para ∫ - 1 1 t 4   d t

Integrando em t :

∫ - 1 1 t 4   d t → 1 5 t 5 - 1 1 = 1 5 1 5 - - 1 5 = 2 5

Para ∫ - 1 1 1   d t

Integrando em t :

∫ - 1 1 1   d t → t - 1 1 = 1 - - 1 = 2

Para ∫ - 1 1 t

Usamos o argumento de que uma função impar em um intervalo simétrico se cancela, mas e uma função par em um intervalo simétrico?! Ora bolas, ela se soma. Como é uma função par? f x = f ( - x ) , e a nossa função é par? Vamos ver:

f t = t

Se fizemos t → - t :

f - t = - t

Mas - t = t , assim:

f t = f - t

E concluímos que nossa função é par! Assim:

∫ - 1 1 t d t → 2 ∫ 0 1 t d t

Pegando somente o valor absoluto

2 ∫ 0 1 t d t = 2 ∫ 0 1 t   d t

Integrando em t :

2 ∫ 0 1 t   d t → 2 1 2 t 2 0 1 = 1 - 0 = 1

E feito tudo vamos juntar os valores da integral novamente.

Passo 5

∫ - 1 1 e 1 - t 2   t t   d t +   ∫ - 1 1 t 4   d t + ∫ - 1 1 1   d t - ∫ - 1 1 t   d t = 0 + 2 5 + 2 - 1 = 7 5

Achamos então o nosso resultado:

7 5

Que alternativa é essa? A alternativa d)

E acabamos por aqui, carinha! Obrigado por ter vindo até aqui junto comigo 😊

Resposta

Letra d)

7 5

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o trabalho realizado pelo campo de força F x ,y = xs e nyi + yj em uma partícula que se move sobre a parábola y = x 2 de - 1 ,1 a 2 ,4 .
Seja F x , y = - yi + xj x 2 + y 2 Mostre que ∂ P / ∂ y = ∂ Q / ∂ x .Mostre que ∫ C F ⋅ d r não é independente do caminho. [Sugestão: calcule ∫ C 1 F ⋅ d r e ∫ C 2 F ⋅ d r onde C 1 e C 2 são as metade
Mostre que um campo de força constante realiza trabalho nulo sobre uma partícula que dá uma única volta completa uniformemente na circunferência x 2 + y 2 = 1 .Isso também é verdadeiro para um campo d
Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = x 2 i → + y 2 j → ,C é o arco da parábola y = 2 x 2 de ( - 1,2 ) a ( 2,8 )
Mostre que a integral de linha é independente e calcule a integral. ∫ C 2 x s e nyd x + ( x 2 cos ⁡ y - 3 y 2 ) d y C é qualquer caminho de ( - 1,0 ) a ( 5,1 )