Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 5, Questão 20

20) Mostre que o momento de inércia em relação ao eixo z da casca do cone z = x 2 + y 2 de altura h que está no primeiro octante com densidade constante é I = M h 2 2 , onde M é a massa total.

Passo 1

Se o problema quer momento de inércia em relação ao eixo z ( I z ), o momento em relação ao eixo z vamos dar:

I z = S   x 2 + y 2 ρ x ,   y ,   z d S

A função de densidade é constante k ...

I z = k S   x 2 + y 2 d S

Para resolver uma integral de superfície escalar como essa, vamos realizar basicamente três procedimentos centrais:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Encontrar o termo d S .

3º - Substituir os termos da parametrização na função a ser integrada.

Então, mão a obra ;)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A superfície é, de acordo com o enunciado, esse pedaço de cone:

z = x 2 + y 2

Note que a superfície S já é esse cilindro. Porem não queremos o cone todo neh? É por isso que limitamos somente até uma altura h .

Além disso, estamos no primeiro octante apenas...

Eis a superfície ;)

Passo 3

Uma superfície cônica podemos sempre parametrizar com as primas das mudanças para coordenadas cilíndricas...

x = r cos θ

y = r sin θ

Como z é o cone...

z = x 2 + y 2      

z = r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ  

z = r 2 cos 2 θ + sin 2 θ  

z = r 2 = r

Então a parametrização é...

σ r , θ = r cos θ , r sin θ ,   r

Passo 4

É importante conhecermos o domínio dos parâmetros... Onde eles variam, saca?

O θ gira até 90 ° para fazer o cone limitado ao primeiro quadrante...

0 θ π 2

Já o z , varia até a altura máxima...

0 z a l t u r a   h

0 z h      

Como z = r , então o parâmetro r ...

0 r h

Passo 5

Falta-nos encontrar o termo d S ...

d S = N   d r d θ

Onde...

N = σ r , θ r × σ r , θ θ

Calculando as derivadas parciais...

σ r , θ = r cos θ , r sin θ ,   r                                             σ r , θ r = cos θ , sin θ ,   1

σ r , θ = r cos θ , r sin θ ,   r                                       ��     σ r , θ θ = - r sin θ , r cos θ ,   0

N = i j k cos θ sin θ 1 - r sin θ r cos θ 0 =

- r sin θ j + r cos 2 θ k - r cos θ i - r sin 2 θ k =

- r cos θ i - r sin θ j + r cos 2 θ + sin 2 θ k =

- r cos θ i - r sin θ j + r k

Portanto o vetor normal à superfície é...

N = - r cos θ , - r sin θ ,   r

Como nos importamos com o módulo de N , não precisa se importar com o sinal dele...

N = - r cos θ 2 + - r sin θ 2 + r 2  

N = r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ + r 2

N = r 2 + r 2 = r 2

Então...

d S = r 2   d r d θ

Passo 6

Antes de retornar à integral

I z = k S   x 2 + y 2 d S

e simplesmente substituirmos tudo, vamos transformar a função escalar que estamos integrando em termos dos parâmetros da superfície...

x 2 + y 2             r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ =

r 2

Passo 7

Dado as variações dos parâmetros...

0 θ π 2

0 r h

E lembrando que...

d S = r 2   d r d θ

e acabamos de ver...

x 2 + y 2 z       r 2

A integral de superfície então se transforma em uma...

I z = k S   x 2 + y 2 d S = k 0 π 2 0 h r 2 r 2     d r d θ =

k 2 0 π 2 0 h r 3     d r d θ

Integral Dupla. ! Bora calcula-la?

Passo 8

Calculando a integral de dentro...

k 2 0 π 2 0 h r 3     d r d θ = k 2 0 π 2 0 h r 3   d r d θ =

k 2 0 π 2 r 4 4 0 h d θ = k 2 h 4 4 0 π 2 d θ =

k 2 h 4 4 π 2 = k 2 h 4 8 π

Passo 9

Bem, esse já é o valor do momento de inércia pedido. Porém, o problema vai um pouco mais além e nos pede em função da massa M da superfície.

A massa de uma superfície é dada também por uma integral de superfície bem especial...

M = S   ρ x ,   y ,   z d S

Como a função densidade é k ...

M = k S   d S

Substituindo tudo já encontrado...

M = k 0 π 2 0 h r 2   d r   d θ =

k 2 0 π 2 0 h r   d r d θ =

k 2 0 π 2 r 2 2 0 h d θ = k 2 h 2 2 0 π 2 d θ =

k 2 h 2 2 π 2 = k 2 h 2 π 4

Como o momento de inércia é

I z = k 2 h 4 8 π =

k 2 h 2 π 4 h 2 2 =

M h 2 2

Resposta

I z = k S   x 2 + y 2 d S = k 2 h 4 8 π

E

M = k S   d S = k 2 h 2 π 4

Portanto

I z = M h 2 2

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