Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 266- 4.

Sabendo que o centro de massa ( x c ,   y c ,   z c ) de uma superfície S é definido por

x c = ∬ S x f ( x , y , z ) d S M ,   y c = ∬ S y f ( x , y , z ) d S M ,   z c = ∬ S z f ( x , y , z ) d S M

Onde M é a massa total de S   e f ( x , y , z ) é a densidade em cada ponto x ,   y ,   z ∈ S , calcule o centro de massa das seguintes superfícies com densidade constante.

  1. S tem representação paramétrica φ u , v = ( u , v , u 2 + v 2 ) , u 2 + v 2 ≤ 1 .
  2. S é a parte da superfície cônica z 2 = x 2 + y 2 compreendida entre os planos z = 1 e z = 2

Passo 1

(a) Sabemos que a superfície tem representação paramétrica explicita,

φ u , v = ( u , v , u 2 + v 2 ) , u 2 + v 2 ≤ 1 .

Assim, o módulo sua normal é dado por:

N → ( u ,   v ) = ∂ f ∂ u 2 +   ∂ f ∂ v 2 + 1

N → ( u ,   v ) = 4 u 2 + 4 v 2 + 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro vamos calcular a massa, para isso devemos usar que a densidade f x ,   y ,   z = k , que é contante. Asism,

M = ∬ S k d S  

M = ∬ D k 4 u 2 + 4 v 2 + 1 d u d v    

Passo 3

Calculando o centro de massa,

x c = ∬ D u k 4 u 2 + 4 v 2 + 1 d u d v ∬ D k 4 u 2 + 4 v 2 + 1 d u d v  

Para simplificar a integral, vamos fazer a seguinte substituição: u = r c o s θ e v = r s e n θ ,

u 2 + v 2 = r 2 s e n 2 θ + r 2 cos 2 ⁡ θ  

Usando a relação fundamental da trigonometria s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 ,

u 2 + v 2 = r 2

Então a integral fica,

x c = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r c o s θ 4 r 2 + 1 r d r d θ ∫ 0 2 π ∫ 0 1 4 r 2 + 1 r d r d θ

Como ∫ 0 2 π c o s θ d θ = 0 ,

x c = 0

Agora vamos calcular o y c ,

y c = ∬ S y f ( x , y , z ) d S M

y c = ∬ D v k 4 u 2 + 4 v 2 + 1 d u d v ∬ D k 4 u 2 + 4 v 2 + 1 d u d v  

Fazendo a mesma substituição u = r c o s θ e v = r s e n θ , temos:

y c = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r s e n θ 4 r 2 + 1 r d r d θ ∫ 0 2 π ∫ 0 1 4 r 2 + 1 r d r d θ

Como ∫ 0 2 π s e n θ d θ = 0 ,

y c = 0

Por último, vamos calcular a coordenada z c ,

z c = ∬ S z f ( x , y , z ) d S M

z c = ∬ D u 2 + v 2 k 4 u 2 + 4 v 2 + 1 d u d v ∬ D k 4 u 2 + 4 v 2 + 1 d u d v  

Novamente, fazendo a mesma substituição u = r c o s θ e v = r s e n θ , temos:

z c = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 4 r 2 + 1 r d r d θ ∫ 0 2 π ∫ 0 1 4 r 2 + 1 r d r d θ

z c = 2 π ∫ 0 1 r 2 4 r 2 + 1 r d r 2 π ∫ 0 1 4 r 2 + 1 r d r

Resolver essa integral não ficou muito fácil, vamos resolver a integral no próximo passo e depois voltamos para encontrar o valor de z c .

Passo 4

Para resolver a integral vamos fazer a substituição de variáveis, t 2 = 4 r 2 + 1 , assim:

t 2 - 1 = 4 r 2 → r 2 = t 2 - 1 4

2 t d t =   8 r d r → r d r = t d t 4

Assim,

∫ 0 1 r 2 4 r 2 + 1 r d r = ∫ 1 5 t 2 - 1 4 t × t 4 d t

∫ 1 5 t 2 - 1 4 t d t = 1 16 t 5 5 - t 3 3 1 5 = 1 16 25 5 5 - 5 5 3 - 1 5 + 1 3 = 1 240 ( 50 5 + 2 )

Ainda,

∫ 1 5 4 r 2 + 1 r d r = ∫ 1 5 t × t 4 d t = 1 4 t 3 3 1 5

∫ 1 5 t × t 4 d t = 1 4 t 3 3 1 5 = 1 4 5 5 3 - 1 3 = 1 12 ( 5 5 - 1 )

Voltando ao cálculo de z c , temos:

z c = 1 240 50 5 + 2 1 12 ( 5 5 - 1 ) = 25 5 + 1 10 ( 5 5 - 1 )

Passo 5

(b) Parametrizando z 2 = x 2 + y 2 , podemos usar a parametrização explícita e como z   é positivo (parte da cônica entre os plano z = 1 e z = 2 ):

z = f x , y = x 2 + y 2

A equação parametrizada será,

φ u ,   v = ( u ,   v ,   u 2 + v 2 )

Assim, o módulo sua normal é dado por:

N → ( u ,   v ) = ∂ f ∂ u 2 +   ∂ f ∂ v 2 + 1

N → ( u ,   v ) = u 2 u 2 + v 2 + v 2 u 2 + v 2 ⏟ 1 + 1

N → ( u ,   v ) = 2

Passo 6

Calculando o centro de massa,

x c = ∬ D u k 2 d u d v ∬ D k 2 d u d v  

Aplicando os limites de z do enunciado, vemos que:

1 ≤ z ≤ 2

1 ≤ u 2 + v 2 ≤ 2

1 ≤ u 2 + v 2 ≤ 4

Pra colocar isso nos limites, vamos fazer a seguinte substituição:

u = r c o s θ

v = r s e n θ

Com isso os limites são:

1 ≤ r ≤ 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

Então a integral fica,

∬ D u k 2 d u d v ∬ D k 2 d u d v   = k 2 ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r cos ⁡ θ d r d θ k 2 ∫ 0 2 π ∫ 1 2 1 d r d θ

A integral do numerador é zero porque

∫ 0 2 π cos ⁡ θ d θ = 0

Já a integral do denominador, que é a massa total, fica

M = k 2 ∫ 0 2 π ∫ 1 2 1 d r d θ = k 2 2 - 1 2 π

M = 2 2 k π

Agora vamos calcular o y c ,

y c = ∬ S y f ( x , y , z ) d S M

y c = ∬ D v k 2 d u d v 2 2 k π

Fazendo a mesma substituição u = r c o s θ e v = r s e n θ , temos:

y c = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r s e n θ 2 r d r d θ 2 2 k π

Como ∫ 0 2 π s e n θ d θ = 0 ,

y c = 0

Por último, vamos calcular a coordenada z c ,

z c = ∬ S z f ( x , y , z ) d S M

z c = ∬ D u 2 + v 2 k 2 d u d v 2 2 k π

Novamente, fazendo a mesma substituição u = r c o s θ e v = r s e n θ , temos:

z c = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r 2 k 2 r d r d θ 2 2 k π

Calculando essa integral do numerador, temos

k 2 ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r 2 d r d θ = 2 π r 3 3 1 2 k 2 =

2 2 k π 8 - 1 3   = 14 2 3 k π

Juntando esse resultado com aquele denominador M

z c = 14 2 3 k π 2 2 k π = 7 3

Resposta

(a)

0 ,   0 ,   25 5 + 1 10 5 5 - 1

(b)

0 , 0 , 7 3

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