Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

Integrais de superfície – caso escalar

Calcule a massa da superfície S definida como sendo a parte da superfície x 2 + y 2 + z 2 = 2 z satisfazendo z ≥ 3 2 e densidade de massa é δ x , y , z = z 2 .

Passo 1

Para acharmos a massa, temos que fazer a integral de superfície da densidade, ou seja, vai ser uma parada assim

M = ∬ S δ x , y , z d S

Como temos que calcular uma integral de superfície, então, precisamos encontrar uma parametrização para S . Temos a superfície

x 2 + y 2 + z 2 = 2 z

x 2 + y 2 + z - 1 2 = 1

Limitada por z ≥ 3 2 . Ou seja, temos uma esfera de raio 1 deslocada da origem (centrada em ( 0,0 , 1 ) ) cortada pelo plano z = 3 / 2 . Portanto, um casco de esfera:

S é a parte da esfera que está acima do plano.

Bom, como se trata de uma esfera, vamos usar coordenadas esféricas com ρ = 1 (deslocadas, no caso):

x =   s e n   φ   c o s   θ

y = s e n   φ   s e n   θ

z = cos ⁡ φ + 1

Isso nos dá a parametrização

σ θ , φ =   s e n   φ   c o s   θ , s e n   φ   s e n   θ , cos ⁡ φ + 1

Bom, como temos uma volta completa em torno do eixo z , 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Agora falta o angulo φ .

Com vemos pela figura, ele vai desde φ = 0 , no eixo z , até onde o plano corta a esfera. Fazendo a interseção da esfera com o plano:

z = cos ⁡ φ + 1 = 3 2

cos ⁡ φ = 1 2

φ = π 3

Logo, 0 ≤ φ ≤ π / 3 .

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Passo 2

Agora vamos achar o vetor normal a S :

N r , θ = ∂ σ ∂ φ × ∂ σ ∂ θ

Vamos começar achando as derivadas da parametrização

∂ σ ∂ φ = cos ⁡ φ cos ⁡ θ , cos ⁡ φ s e n   θ , - s e n   φ

∂ σ ∂ θ = - s e n   φ   s e n   θ , s e n   φ cos ⁡ θ , 0

O vetor normal vai ser

N φ , θ = i j k cos ⁡ φ cos ⁡ θ cos ⁡ φ s e n   θ - s e n   φ - s e n   φ   s e n   θ s e n   φ cos ⁡ θ 0

N φ , θ = s e n 2 φ cos ⁡ θ , s e n 2 φ   s e n   θ , cos 2 ⁡ θ s e n   φ cos ⁡ φ + s e n 2 θ   s e n   φ cos ⁡ φ

N φ , θ = s e n 2 φ cos ⁡ θ , s e n 2 φ   s e n   θ , s e n   φ cos ⁡ φ

Passo 3

A norma vai ficar

N φ , θ = s e n 2 φ cos ⁡ θ 2 + s e n 2 φ   s e n   θ 2 + s e n   φ cos ⁡ φ 2

N φ , θ = s e n 2 φ   s e n 2 φ + s e n 2 φ cos 2 ⁡ φ

N φ , θ = s e n φ  

Passo 4

A integral vai ficar

M = ∬ S δ x , y , z d S = ∬ D δ σ φ , θ N φ , θ d φ d θ

Onde D = 0 ≤ θ ≤ 2 π ,   0 ≤ φ ≤ π / 3 , como já vimos na parametrização da superfície. Lembrando que

δ x , y , z = z 2

E que, pela nossa parametrização,

z = cos ⁡ φ + 1

Vamos ter

M = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 3 cos ⁡ φ + 1 2   s e n   φ   d φ d θ

Passo 5

Agora, fazendo

cos ⁡ φ + 1 = u

- s e n   φ   d φ = d u  

φ = 0           →             u = 2

φ = π 3           →           u = 3 2

M = - ∫ 0 2 π ∫ 2 3 / 2 u 2   d u d θ

= - ∫ 0 2 π u 3 3 2 3 2 d θ = = 1 3 ∫ 0 2 π 8 - 27 8 d θ =

= 37 24 ∫ 0 2 π d θ =

= 37 π 12

Resposta

37 π 12

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