Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

USP, Cálculo 3, P3 - 2015, Questão 1

Calcule a massa da superfície da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 para 0 x 3 y e 1 2 z 1 com densidade δ x , y , z = z 2 .

Passo 1

Para acharmos a massa, temos que fazer a integral de superfície da densidade, ou seja, vai ser uma parada assim

M = S δ x , y , z d S

Como temos que calcular uma integral de superfície, então, precisamos encontrar uma parametrização para S . Temos a superfície

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Uma esfera de raio 1 :

Com 0 x 3 e 1 2 z 1 . Isso significa cortar a esfera com os planos z = 1 2 , z = 0 , x = 0 e x = 3 y :

Nossa superfície é a parte da esfera acima do plano verde e entre os planos laranja e roxo.

Bom, como é uma esfera, vamos usar coordenadas esféricas na parametrizaçao (lembrando que ρ = 1 );

x = sen φ cos θ

y = s e n   φ   s e n   θ

z = cos φ

Então teremos

σ r , θ = sen φ cos θ ,   s e n   φ   s e n   θ , cos φ  

Agora precisamos limitar os parâmetros usando as equações dos planos que cortam a esfera. Pela figura, já vemos que o ângulo θ vai ser limitado pelos planos x = 0 e x = 3 y . A primeira equação é o mesmo que θ = π / 2   , vamos fazer a mudança esférica na segunda:

sen φ cos θ = 3 s e n   φ   s e n   θ

cos θ = 3   s e n   θ

t g   θ = 1 3

θ = π 6

Temos, então, π 6 θ π 2 .

Agora falta o outro ângulo φ , que vai desde φ = 0 (no eixo z ) até o ponto onde o plano z = 1 / 2   corta a esfera. Isso nos dá:

z = cos φ = 1 2

φ = π 3

Logo, 0 φ π / 3 .

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Passo 2

Temos uma integral de superfície escalar, então precisamos achar a norma do vetor normal, primeiro vamos achar o vetor normal, ele vai ser

N θ , φ = σ θ × σ φ

Vamos começar achando as derivadas da parametrização

σ r , θ = sen φ cos θ ,   s e n   φ   s e n   θ , cos φ  

σ θ = - sen φ   sen θ , sen φ cos θ , 0

σ φ = cos φ cos θ , cos φ s e n   θ , - sen φ

O vetor normal vai ser

N θ , φ = i j k - sen φ   sen θ sen φ cos θ 0 cos φ cos θ cos φ s e n   θ - sen φ

N θ , φ = - sen 2 φ cos θ , - sen 2 φ   sen θ , - sen φ cos φ sen 2 θ - sen φ cos φ cos 2 θ

N θ , φ = - sen 2 φ cos θ , - sen 2 φ   sen θ , - sen φ cos φ

Passo 3

A normal vai ficar

N θ , φ = - sen 2 φ cos θ 2 + - sen 2 φ   sen θ 2 + - sen φ cos φ 2

N θ , φ = sen 4 φ + sen 2 φ cos 2 φ

N θ , φ = sen 2 φ sen 2 φ + sen 2 φ cos 2 φ

N θ , φ = sen φ

Passo 4

A integral vai ficar

M = S δ x , y , z d S = D δ σ θ , φ N θ , φ d θ d φ

Onde D =   π 6 θ π 2 , 0 φ π 3 , como já vimos na parametrização da superfície. Lembrando que

δ x , y , z = z 2

E que, pela nossa parametrização,

z = cos φ

Vamos ter

M = 0 π / 3 π / 6 π / 2   cos 2 φ sen φ d θ d φ

Passo 5

Agora vamos resolver isso aí

M = π 2 - π 6 0 π 3 cos 2 φ sen φ d φ

M = π 3 0 π / 3 cos 2 φ sen φ d φ

Fazendo

cos φ = u

- sen φ d φ = d u

φ = 0                           u = 1

φ = π 3                               u = 1 2

A integral fica:

M = - π 3 1 1 / 2 u 2 d u

M = - π u 3 9 1 1 / 2

M = - π 9 1 8 - 1

M = 7 π 72

Resposta

M = 7 π 72

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