Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

Integrais de superfície – caso escalar

Calcule a massa da superfície da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 para 0 ≤ x ≤ 3 y e 1 2 ≤ z ≤ 1 com densidade δ x , y , z = z 2 .

Passo 1

Para acharmos a massa, temos que fazer a integral de superfície da densidade, ou seja, vai ser uma parada assim

M = ∬ S δ x , y , z d S

Como temos que calcular uma integral de superfície, então, precisamos encontrar uma parametrização para S . Temos a superfície

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Uma esfera de raio 1 :

Com 0 ≤ x ≤ 3 e 1 2 ≤ z ≤ 1 . Isso significa cortar a esfera com os planos z = 1 2 , z = 0 , x = 0 e x = 3 y :

Nossa superfície é a parte da esfera acima do plano verde e entre os planos laranja e roxo.

Bom, como é uma esfera, vamos usar coordenadas esféricas na parametrizaçao (lembrando que ρ = 1 );

x = sen ⁡ φ cos ⁡ θ

y = s e n   φ   s e n   θ

z = cos ⁡ φ

Então teremos

σ r , θ = sen ⁡ φ cos ⁡ θ ,   s e n   φ   s e n   θ , cos ⁡ φ  

Agora precisamos limitar os parâmetros usando as equações dos planos que cortam a esfera. Pela figura, já vemos que o ângulo θ vai ser limitado pelos planos x = 0 e x = 3 y . A primeira equação é o mesmo que θ = π / 2   , vamos fazer a mudança esférica na segunda:

sen ⁡ φ cos ⁡ θ = 3 s e n   φ   s e n   θ

cos ⁡ θ = 3   s e n   θ

t g   θ = 1 3

θ = π 6

Temos, então, π 6 ≤ θ ≤ π 2 .

Agora falta o outro ângulo φ , que vai desde φ = 0 (no eixo z ) até o ponto onde o plano z = 1 / 2   corta a esfera. Isso nos dá:

z = cos ⁡ φ = 1 2

φ = π 3

Logo, 0 ≤ φ ≤ π / 3 .

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Passo 2

Temos uma integral de superfície escalar, então precisamos achar a norma do vetor normal, primeiro vamos achar o vetor normal, ele vai ser

N θ , φ = ∂ σ ∂ θ × ∂ σ ∂ φ

Vamos começar achando as derivadas da parametrização

σ r , θ = sen ⁡ φ cos ⁡ θ ,   s e n   φ   s e n   θ , cos ⁡ φ  

∂ σ ∂ θ = - sen ⁡ φ   sen ⁡ θ , sen ⁡ φ cos ⁡ θ , 0

∂ σ ∂ φ = cos ⁡ φ cos ⁡ θ , cos ⁡ φ s e n   θ , - sen ⁡ φ

O vetor normal vai ser

N θ , φ = i j k - sen ⁡ φ   sen ⁡ θ sen ⁡ φ cos ⁡ θ 0 cos ⁡ φ cos ⁡ θ cos ⁡ φ s e n   θ - sen ⁡ φ

N θ , φ = - sen 2 ⁡ φ cos ⁡ θ , - sen 2 ⁡ φ   sen ⁡ θ , - sen ⁡ φ cos ⁡ φ sen 2 ⁡ θ - sen ⁡ φ cos ⁡ φ cos 2 ⁡ θ

N θ , φ = - sen 2 ⁡ φ cos ⁡ θ , - sen 2 ⁡ φ   sen ⁡ θ , - sen ⁡ φ cos ⁡ φ

Passo 3

A normal vai ficar

N θ , φ = - sen 2 ⁡ φ cos ⁡ θ 2 + - sen 2 ⁡ φ   sen ⁡ θ 2 + - sen ⁡ φ cos ⁡ φ 2

N θ , φ = sen 4 ⁡ φ + sen 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ φ

N θ , φ = sen 2 ⁡ φ sen 2 ⁡ φ + sen 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ φ

N θ , φ = sen ⁡ φ

Passo 4

A integral vai ficar

M = ∬ S δ x , y , z d S = ∬ D δ σ θ , φ N θ , φ d θ d φ

Onde D =   π 6 ≤ θ ≤ π 2 , 0 ≤ φ ≤ π 3 , como já vimos na parametrização da superfície. Lembrando que

δ x , y , z = z 2

E que, pela nossa parametrização,

z = cos ⁡ φ

Vamos ter

M = ∫ 0 π / 3 ∫ π / 6 π / 2   cos 2 ⁡ φ sen ⁡ φ d θ d φ

Passo 5

Agora vamos resolver isso aí

M = π 2 - π 6 ∫ 0 π 3 cos 2 ⁡ φ sen ⁡ φ d φ

M = π 3 ∫ 0 π / 3 cos 2 ⁡ φ sen ⁡ φ d φ

Fazendo

cos ⁡ φ = u

- sen ⁡ φ d φ = d u

φ = 0               →             u = 1

φ = π 3                   →             u = 1 2

A integral fica:

M = - π 3 ∫ 1 1 / 2 u 2 d u

M = - π u 3 9 1 1 / 2

M = - π 9 1 8 - 1

M = 7 π 72

Resposta

M = 7 π 72

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