Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

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Enunciado

Encontre o centro de massa, o momento de inércia e o raio de rotação em relação ao eixo z   de uma casca fina de densidade constante δ cortada do cone x 2 + y 2 - z 2 = 0 pelo planos z = 1 e z = 2 .

Passo 1

Pela simetria da superfície, x c = 0 e y c = 0 . Agora falta calcularmos, z c . Primeiro vamos calcular a massa M :

∬ S δ d S = δ ∬ S d S

Passo 2

Para resolver esta integral devemos saber o módulo do vetor normal à superfície e para isto vamos parametrizar ela.

Podemos usar a parametrização:

x = r s e n θ y = r c o s θ z = r

Assim a superfície é parametrizada por,

φ r ,   θ = ( r s e n θ ,   r c o s θ ,   r )

Passo 3

Encontrando o módulo do vetor normal,

N → r ,   θ = ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ

N → ( r ,   θ ) =   i j k s e n θ c o s θ 1 r c o s θ r s e n θ 0

N → r ,   θ = ( r s e n θ ,   r c o s θ ,   - r )

N → r ,   θ = r 2 s e n 2 θ + r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2

Usando a relação fundamental da trigonometria s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 ,  

N → r ,   θ = 2 r 2 = r 2

Passo 4

Para encontrar o centro de massa:

M = δ ∬ S d S = δ 2 ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r d r d θ

M = δ 2 × 2 π r 2 2 1 2 = 3 2 π δ

Assim,

z c = δ ∬ S z d S M

z c =   δ 2 ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r 2 d r d θ 3 2 π δ

z c =   2 π r 3 3 1 2 3 π = 2 3 × 7 3

z c = 14 9

Logo,

C M = 0 ,   0 , 14 9  

Passo 5

Para encontrar o momento de inércia devemos calcular:

I z = ∬ D ( x 2 + y 2 ) δ d S

Agora vamos resolver a integral de superfície,

I z = ∬ D ( x 2 + y 2 ) δ d S

Como δ é constante:

I z = δ ∬ S ( r 2 s e n 2 θ + r 2 cos 2 ⁡ θ ) r 2 d r d θ

I z = δ 2 ∬ S r 3 d r d θ

Queremos a parte da cônica que se encontra dentro do cilindro r = 2 s e n θ

I z = δ 2 ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r 3 d r d θ

I z = δ 2 × 2 π r 4 4 1 2 = 15 π 2 2 δ

Passo 6

O raio de rotação é definido como:

I z = M R 2

R 2 = 1 M 15 π 2 2 δ

Como M = 3 π 2 δ

R 2 = 1 3 π 2 δ 15 π 2 2 δ

R 2 = 5 2

R = 10 2

Resposta

Centro de Massa:

C M = 0 ,   0 , 14 9  

Momento de Inércia em relação a z:

I z = 15 π 2 2 δ

Raio de rotação em relação a z:

R = 10 2

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