Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis, Cálculo – Volume II, 8ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2007, pp. 1154 - 29

O centroide de um superfície σ é definido por

x - = ∬ σ x d S á r e a   d e   σ ,   y - = ∬ σ y d S á r e a   d e   σ ,   z - = ∬ σ z d S á r e a   d e   σ

Encontre o centroide da superfície na porção do paraboloide

z = 1 2 x 2 + y 2

Abaixo do plano z = 4 .

Passo 1

Temos algumas integrais de superfície para resolver.

A Primeira coisa que temos que fazer é parametrizar a superfície! Como é um paraboloide, a parametrização vai ser semelhante a cilíndrica:

x = R s e n θ y = R c o s θ z = t

Vamos substituir na equação para deixarmos somente em função de dois parâmetros:

t = 1 2 ( R 2 s e n 2 θ + R 2 cos 2 ⁡ θ )  

2 t = R 2 ( s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ )

Usando a relação fundamental da trigonometria s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

2 t = R 2

R = 2 t

Assim temos como função paramétrica:

φ t , θ = ( 2 t s e n θ ,   2 t c o s θ ,   t )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Tendo a função φ , agota temos que calcular o módulo da normal para resolver a integral de superfície!

A normal de uma função parametrizada por φ é:

N → t , θ = ∂ φ ∂ t × ∂ φ ∂ θ

N → t , θ =   i j k 1 / 2 t sen ⁡ θ 1 / 2 t cos ⁡ θ 1 2 t cos ⁡ θ - 2 t sen ⁡ θ 0

N → t , θ = ( 2 t sen ⁡ θ ,   2 t cos ⁡ θ ,   - s e n 2 θ - cos 2 ⁡ θ )

Usando a relação fundamental da trigonometria, s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 , temos:

N → t , θ = ( 2 t sen ⁡ θ ,   2 t cos ⁡ θ ,   - 1 )  

Então,

N → t ,   θ = 2 t s e n 2 θ + 2 t cos 2 ⁡ θ + 1  

Usando a relação fundamental da trigonometria, s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 , temos:

N → t ,   θ = 2 t + 1  

Pronto, agora temos o módulo da normal!

Passo 3

Agora vamos definir os intervalos de integração:

Como z = 1 2 ( x 2 + y 2 ) , ou seja, a soma de dois quadrados, temos que:

z ≥ 0

E o enunciado diz que a superfície é a parte do paraboloide que está abaixo do plano z = 4 , e como z = t , temos:

0 ≤ t ≤ 4

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 4

Vamos calcular cara uma das integrais, começando pela área que é comum a todas as coordenadas:

A = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 2 t + 1   d t d θ      

Para resolver esta integral faremos,

u = 2 t + 1

d u = 2 d t

Substituindo a integral fica,

A = ∫ 0 2 π ∫ 1 9 u   2 d u d θ    

A = ∫ 0 2 π 1 2 2 u 3 / 2 3 1 9 d θ = 2 π 26 3 = 52 π 3  

A = 52 π 3

Calculando as coordenadas:

x - A = ∫ 0 4 ∫ 0 2 π 2 t s e n θ 2 t + 1   d θ d t    

x - A = ∫ 0 4 2 t 2 t + 1   - c o s θ 0 2 π d t  

x - A = ∫ 0 4 2 t 2 t + 1   ( 0 ) d t   = 0

x - = 0

y - A = ∫ 0 4 ∫ 0 2 π 2 t c o s θ 2 t + 1   d θ d t    

y - A = ∫ 0 4 2 t 2 t + 1   s e n θ 0 2 π d t  

y - A = ∫ 0 4 2 t 2 t + 1   ( 0 ) d t   = 0

y - = 0

z - A = ∫ 0 4 ∫ 0 2 π t 2 t + 1   d θ d t    

Novamente vamos fazer a substituição,

u = 2 t + 1

d u = 2 d t

Substituindo a integral fica,

z - A = 2 π ∫ 1 9 u 2 u - 1 2 d u  

z - A = 2 π ⋅ 1 4 2 u 5 2 5   + 2 u 2 3 3 1 9 = π 2 2 ⋅ 3 5 5 - 2 ⋅ 3 2 3 - 2 ⋅ 1 5 5 + 2 ⋅ 1 2 3 = π 2 1192 15   = 596 π 15

z - 52 π 3 = 596 π 15

z - = 149 65

Resposta

Então, o centroide é

x - ,   y - ,   z - = 0 ,   0 , 149 65

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