Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

21) Calcule o momento de inércia da superfície esférica de raio R , homogênea, de massa M , em torno de qualquer diâmetro.

Passo 1

Antes de partira para os cálculos, vamos construir o problema. Queremos calcular o momento de inércia de uma esfera de raio qualquer R ( R é conhecido, portanto ele é uma constante). Esse momento de inércia deve ser calculado em torno de um diâmetro qualquer.

A esfera, vamos desenha-la com o centro na origem do espaço coordenado:

Se o diâmetro pode ser qualquer, vamos pegar o eixo z , então queremos o momento de inércia em relação ao z ( I z ). Pela teoria, calculamos esse momento fazendo...

I z = ∬ S   x 2 + y 2 ρ x ,   y ,   z d S

A função de densidade é constante k por ser a superfície é homogênea...

I z = k ∬ S   x 2 + y 2 d S

Então bora resolver essa integral!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para resolver uma integral de superfície escalar como essa, vamos realizar basicamente três procedimentos centrais:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Encontrar o termo d S .

3º - Substituir os termos da parametrização na função a ser integrada.

Passo 3

Já sabemos quem é a superfície S que queremos o momento de inércia:

Esferas podem ser parametrizadas com as primas das coordenadas esféricas...

x = ρ sin ⁡ φ cos ⁡ θ

y = ρ sin ⁡ φ sin ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ θ

A diferença é que agora o ρ é o raio da esfera que é fixo – não muda. Ou seja, ρ = R ...

x = R sin ⁡ φ cos ⁡ θ

y = R sin ⁡ φ sin ⁡ θ

z = R cos ⁡ θ

Lembre-se de que a é o raio da semiesfera que o problema pediu para considerar. Ele é um número e não um parâmetro. Sabendo disso a parametrização da esfera ficou então...

σ φ ,   θ = R sin ⁡ φ cos ⁡ θ ,   R sin ⁡ φ sin ⁡ θ ,   R cos ⁡ θ

Passo 4

É importante conhecermos o domínio dos parâmetros... Onde eles variam, saca?

O θ gira uma volta completa para fazer a esfera...

0 ≤ θ ≤ 2 π

Já o φ , varia entre...

0 ° ≤ φ ≤ 180 ° →

0 ≤ φ ≤ π

Passo 5

Falta-nos encontrar o termo d S ... Bem, poderíamos encontra fazendo o modelo clássico:

d S = N →   d θ d φ

Onde...

N → = ∂ σ θ ,   φ ∂ θ × ∂ σ θ ,   φ ∂ φ

Mas cara, não disse que a parametrização é prima das coordenadas esféricas? Então, ela se parece até nisso com ela. Ora quem é o Jacobiano lá?

J = ρ 2 sin ⁡ φ

Então, o módulo do vetor normal será quase isso, basta trocar o ρ pelo raio da esfera...

N → = R 2 sin ⁡ φ

Então...

d S = R 2 sin ⁡ φ   d θ d φ

Passo 6

Antes de retornar à integral

I z = k ∬ S   x 2 + y 2 d S

e simplesmente substituirmos tudo, vamos transformar a função escalar que estamos integrando em termos dos parâmetros da superfície...

x 2 + y 2     →

Como sabemos...

x = R sin ⁡ φ cos ⁡ θ

y = R sin ⁡ φ sin ⁡ θ

z = R cos ⁡ φ

Então...

x 2 + y 2     →         R 2 sin 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + R 2 sin 2 ⁡ φ sin 2 ⁡ θ   →

R 2 sin 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ   →

R 2 sin 2 ⁡ φ

Passo 7

Dado as variações dos parâmetros...

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ φ ≤ π

E lembrando que...

d S = R 2 sin ⁡ φ   d �� d φ

e acabamos de ver...

x 2 + y 2     →   R 2 sin 2 ⁡ φ

A integral de superfície então se transforma em uma...

I z = k ∬ S   x 2 + y 2   d S =

k ∫ 0 2 π ∫ 0 π R 2 sin 2 ⁡ φ ⋅ R 2 sin ⁡ φ   d φ d θ =

Como R é constante...

I z = k R 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 π sin 3 ⁡ φ   d φ d θ

Integral Dupla. ! Bora calcula-la?

Passo 8

I z = k R 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 π sin 3 ⁡ φ   d φ d θ =

sin 2 ⁡ φ = 1 - cos 2 ⁡ φ

k R 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 π sin ⁡ φ 1 - cos 2 ⁡ φ   d φ d θ = k R 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 π sin ⁡ φ - sin ⁡ φ cos 2 ⁡ φ   d φ d θ =

k R 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 π sin ⁡ φ   d φ - ∫ 0 π sin ⁡ φ cos 2 ⁡ φ   d φ d θ =

k R 4 ∫ 0 2 π - cos ⁡ φ 0 π - ∫ 0 π sin ⁡ φ cos 2 ⁡ φ   d φ d θ =

k R 4 ∫ 0 2 π - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0 - ∫ 0 π sin ⁡ φ cos 2 ⁡ φ   d φ d θ =

k R 4 ∫ 0 2 π 2 + ∫ 0 π - sin ⁡ φ cos 2 ⁡ φ   d φ d θ

Fazendo uma substituição...

t = cos ⁡ φ       →           d t = - sin ⁡ φ

Mas não se esquecendo de trocar também os limites...

φ = 0               →                   t = cos ⁡ 0 = 1

φ = π               →                   t = cos ⁡ π = - 1

k R 4 ∫ 0 2 π 2 + ∫ 1 - 1 t 2   d t d θ = k R 4 ∫ 0 2 π 2 - ∫ - 1 1 t 2   d t d θ =

k R 4 ∫ 0 2 π 2 - t 3 3 - 1 1 d θ = k R 4 ∫ 0 2 π 2 - 1 3 - - 1 3 d θ =

8 3 k R 4 π

Passo 9

Bem, esse já é o valor do momento de inércia pedido. Porém, o problema vai um pouco mais além e nos pede em função da massa M da superfície.

A massa de uma superfície é dada também por uma integral de superfície bem especial...

M = ∬ S   ρ x ,   y ,   z d S

Como a função densidade é k ...

M = k ∬ S   d S

Epa! A integral de d S é a área da superfície. Como a nossa é uma esfera...

M = k 4 π R 2

Como o momento de inércia é

I z = 8 3 k R 4 π =

2 R 2 ⋅ 4 k R 2 π 3 =

2 M R 2 3

Resposta

2 M R 2 3

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