Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

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Enunciado

Um arame fino é entortado na forma da curva x 2 + y 2 = 25 , para x ≥ 0 , onde a densidade linear é dada por ρ x , y = x + 2 y . Determine:

  1. A massa do arame;
  2. O centro de massa x C M , y C M do arame.

Passo 1

Temos uma questão de aplicações de integrais de linha.

Independentemente da letra, seja o cálculo da massa quando o centro de massa, precisaremos obter uma parametrização para a nossa curva.

Como a curva é da questão é x 2 + y 2 = 25 , para x ≥ 0 , temos um semicírculo de raio 5. Parametrizando este semicírculo, temos:

γ → t = 5 cos ⁡ t , 5 sen ⁡ t

Além disto, sabemos que - π / 2 ≤ t ≤ π / 2 .

Passo 2

Pronto, agora que temos a curva parametrizada, vamos para o cálculo da massa do arame. Para isto, basta resolvermos a seguinte integral:

m = ∫ C ρ x , y d s = ∫ a b ρ x , y | | γ → ' t | | d t

Derivando a curva γ → ( t ) obteremos:

γ → ' t = - 5 sen ⁡ t , 5 cos ⁡ t

Portanto, a norma desta derivada é:

γ → ' t = - 5 sen ⁡ t 2 + 5 cos ⁡ t 2 = 25 = 5

Para podermos partir para a integração em si, só nos resta escrevermos a densidade do arame em relação a curva parametrizada. Portanto,

ρ 5 cos ⁡ t , 5 sen ⁡ t = 5 cos ⁡ t + 10 sen ⁡ t

Portanto, a massa do arame é dada por:

m = ∫ - π / 2 π / 2 5 cos ⁡ t + 10 sen ⁡ t ⋅ 5 d t

m = ∫ - π / 2 π / 2 25 cos ⁡ t + 50 sen ⁡ t d t

m = 25 sen ⁡ t - 50 cos ⁡ t - π / 2 π / 2

m = 25 - 0 - - 25 - 0 = 50

E assim finalizamos a letra a).

Passo 3

Para o cálculo do centro de massa, vamos dividir em duas partes.

Primeiramente, vamos calcular a coordenada x C M . Ela é expressa por:

x C M = 1 m ∫ C x ρ x , y d s

Como já tivemos todo o trabalho de definir a curva, o elemento d s e a função densidade em relação a curva parametrizada, só nos resta fazermos aplicação direto da fórmula e assim resolvermos a nossa integral.

Portanto, temos:

x C M = 1 50 ∫ - π / 2 π / 2 5 cos ⁡ t ⋅ 25 cos ⁡ t + 50 sen ⁡ t d t

x C M = 1 50 ∫ - π / 2 π / 2 125 cos 2 ⁡ t + 250 cos ⁡ t sen ⁡ t d t

x C M = 5 2 ∫ - π / 2 π / 2 cos 2 ⁡ t d t + 5 ∫ - π / 2 π / 2 cos ⁡ t sen ⁡ t d t

Vamos resolver cada integral separadamente. Para a primeira integral, precisamos fazer uma mudança para cos ⁡ 2 t . Logo, temos:

∫ - π / 2 π / 2 cos 2 ⁡ t d t = ∫ - π / 2 π / 2 cos ⁡ 2 t + 1 2 d t

sen ⁡ 2 t 2 + t 2 - π / 2 π / 2 = 0 2 + π 2 2 - 0 2 - π 2 2 = π 2

Já para a segunda integral, basta fazermos uma substituição de variáveis para resolver o problema. Portanto,

∫ - π / 2 π / 2 cos ⁡ t sen ⁡ t d t = sen 2 ⁡ t 2 - π / 2 π / 2

sen 2 ⁡ π 2 2 - sen 2 ⁡ - π 2 2 = 1 2 - 1 2 = 0

Portanto, a coordenada x C M é dada por:

x C M = 5 2 ⋅ π 2 + 5 ⋅ 0 = 5 π 4

Passo 4

Vamos repetir tudo do Passo 3, só que para a coordenada y C M . Ela é expressa por:

y C M = 1 m ∫ C y ρ x , y d s

Portanto, temos:

y C M = 1 50 ∫ - π / 2 π / 2 5 sen ⁡ t ⋅ 25 cos ⁡ t + 50 sen ⁡ t d t

y C M = 1 50 ∫ - π / 2 π / 2 125 sen ⁡ t cos ⁡ t + 250 sen 2 ⁡ t d t

y C M = 5 2 ∫ - π / 2 π / 2 sen ⁡ t cos ⁡ t d t + 5 ∫ - π / 2 π / 2 sen 2 ⁡ t d t

Vamos resolver cada integral separadamente. Para a primeira integral, basta fazermos uma substituição de variáveis para resolver o problema. Portanto,

∫ - π / 2 π / 2 cos ⁡ t sen ⁡ t d t = sen 2 ⁡ t 2 - π / 2 π / 2

sen 2 ⁡ π 2 2 - sen 2 ⁡ - π 2 2 = 1 2 - 1 2 = 0

Já para a segunda integral, precisamos fazer uma mudança para cos ⁡ 2 t . Logo, temos:

∫ - π / 2 π / 2 sen 2 ⁡ t d t = ∫ - π / 2 π / 2 1 - cos ⁡ 2 t 2 d t

t - sen ⁡ 2 t 2 2 - π / 2 π / 2 = π 2 - 0 2 2 - - π 2 - 0 2 2 = π 2

Portanto, a coordenada y C M é dada por:

y C M = 5 2 ⋅ 0 + 5 ⋅ π 2 = 5 π 2

Portanto, o centro de massa do arame é 5 π 4 , 5 π 2 .

Resposta

  1. A massa do arame é:
  2. m = 50

  3. O centro de massa do arame é:

5 π 4 , 5 π 2

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