Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 3, Questão 10

Um arame tem a força de uma curva obtida como interseção da semiesfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 , x 0 , com o plano y + z = 4 . Sabendo que a densidade em cada ponto x , y , z é dada por ρ x , y , z = x , mostre que o momento de inércia em relação ao eixo x é igual a 32 M 3 , onde M é a massa do arame.

Passo 1

Ele quer o momento de inércia em relação ao eixo x , mas repara que ele compara com a massa, então vamos começar calculando a massa. A massa vai ser a integral de linha da função densidade, isso porque

d M = ρ d s

M = C ρ d s

A integral de linha é escalar, então precisamos achar uma parametrização para aplicar na fórmula

M = a b ρ x t ,   y t , z t .   | σ ' |   d t

Com

ρ x , y , z = x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que achar a curva que queremos parametrizar, vamos achar a interseção

x 2 + y 2 + 4 - y 2 = 16

x 2 + y 2 + 16 - 8 y + y 2 = 16

x 2 + 2 y 2 - 8 y = 0

Completando o quadrado

x 2 + 2 y 2 - 8 y + 8 = 8

x 2 + 2 y 2 - 4 y + 4 = 8

x 2 + 2 y - 2 2 = 8

x 2 8 + 2 y - 2 2 8 = 1

x 2 8 + y - 2 2 4 = 1

Isso é uma elipse, então

x t = 8 cos t = 2 2 cos t

y t = 2 + 2 sen t

Mas repara que temos uma função em 3 variáveis né? Falta a parametrização do z ,

Lembra que

z = 4 - y

Então

z t = 4 - 2 - 2 sen t

z t = 2 - 2 sen t

Como ele quer x 0 vamos ter

2 2 cos t 0

cos t 0

Isso faz com que

t - π 2 , π 2

A parametrização vai ser

σ t = 2 2 cos t , 2 + 2 sen t , 2 - 2 sen t

Onde t - π 2 , π 2

Passo 3

Vamos calcular σ t '

σ t ' = - 2 2 sen t , 2 cos t , - 2 cos t

Passo 4

Vamos calcular σ t '

σ t ' = - 2 2 sen t 2 + 2 cos t 2 + - 2 cos t 2 = 8 sen 2 t + 4 cos 2 t + 4 cos 2 t

8 sen 2 t + 8 cos 2 t = 8 sen 2 t + cos 2 t = 8 = 2 2

Passo 5

Substituindo na integral

a b ρ x t ,   y t , z t .   | σ ' |   d t = a b x t .   | σ ' |   d t

- π / 2 π / 2 2 2 cos t . 2 2 d t = - π / 2 π / 2 8 cos t d t

8 sen t t = - π 2 π 2 = 8 sen π 2 - 8 sen - π 2

8 - - 8 = 16

Então

M = 16

Passo 6

Vamos agora ao momento de inércia, ele quer o momento de inércia em relação ao eixo x , a fórmula do momento de inércia nesse caso vai ser

I = C y 2 + z 2 ρ d s = a b y t 2 + z t 2 ρ x t ,   y t , z t .   | σ ' |   d t

Usando a mesma parametrização de antes vamos resolver essa integral, o que vai mudar é o cara dentro da integral, então vamos ter

I = - π / 2 π / 2 2 + 2 sen t 2 + 2 - 2 sen t 2 2 2 cos t ρ . 2 2 d t d S

- π / 2 π / 2 4 + 8 sen t + 4 sen 2 t + 4 - 8 sen t + 4 sen 2 t 2 2 cos t . 2 2 d t

- π / 2 π / 2 8 + 8 sen 2 t 8 cos t d t

64 - π / 2 π / 2 1 + sen 2 t cos t d t

Vamos resolver essa integral separado

Passo 7

Temos que fazer

1 + sen 2 t cos t d t

Vamos fazer a substituição

sen t = u

Isso porque

d u = cos t d t

E a integral vai ficar

1 + sen 2 t cos t d t = 1 + u 2 d u

E vamos ter

1 + u 2 d u = u + u 3 3

Voltando para t

u + u 3 3 = sen t + sen 3 t 3

Passo 8

Voltando para a integral no final do passo 6

64 - π / 2 π / 2 1 + sen 2 t cos t d t

Vamos ter

64 sen t + sen 3 t 3 t = - π 2 π 2 = 64 sen π 2 + sen 3 π 2 3 - sen - π 2 + sen 3 - π 2 3

64 1 + 1 3 - - 1 + - 1 3 3

64 4 3 - - 1 - 1 3

64 4 3 - - 4 3

64 8 3

512 3

Então

I = 512 3

Passo 9

Como

M = 16

Vamos ter

I M = 512 / 3 16 = 512 3 1 16 = 32 3

Logo

I = 32 3 M

Como ele queria demostrar.

Resposta

Vamos ter

M = 16

I = 512 3

E isso mostra o que ele pede.

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