Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

UFPE, Cálculo 3, PF - 2017.1, Questão 1

Determine a massa total e o centro de massa do arco da parábola C : 8 x 2 = y 3 que se situa entre as retas x = 0 e x = 1 , cuja densidade linear é dada pela função ρ x ,   y = 1 18 y + 64 .

Passo 1

Eita! Massa de arco? Vamos então trabalhar com uma integral de linha!

Sabemos que a M a s s a de uma curva é a integral de linha da densidade, ou seja:

M a s s a = C   ρ x ,   y d r

Pra gente começar a resolver essa integral, devemos antes de tudo buscar uma parametrização pra essa “linha”. Bora lá?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bem, se a gente isolar o y em função do x , bastando extrair a raiz cúbica dos dois lados, teremos

y = 8 x 2 3          

Lembrando que 8 3 = 2 e da propriedade de potência que x 2 3 = x 2 3 ...

y = 2 x 2 3

Agora vamos pensa um pouquinho, qual substituição no caso de x simplificaria essa coisa toda?

Como x está elevado a 2 / 3 , seria bom se sumíssemos com essa fração. Se fizermos então x = t 3 , olha o que acontece:

y = 2 t 3 2 3    

y = 2 t 3 2 3        

y = 2 t 2

Percebeu? Então a parametrização escolhida é

γ t = t 3 ,   2 t 2

Para determinar o limite da parametrização, basta utilizar o limite do problema:

x = 0                         x = t 3                               t = 0 3            

t = 0

x = 1                         x = t 3                               t = 1 3            

t = 1

Passo 3

Então, como todo problema de integral de linha, devemos buscar agora o d r

Pela teoria, teremos:

d r = | γ ' t | d t

Derivando, então, a curva γ t = t 3 ,   2 t 2 , (basta derivar cada entrada de γ )...

γ ' t = 3 t 2 , 4 t

Não precisamos do vetor γ ' e sim do seu módulo:

γ ' ( t ) = 3 t 2 2 + 4 t 2      

γ ' ( t ) = 9 t 4 + 16 t 2                    

Repare que podemos colocar t 2 em evidência

γ ' ( t ) = t 2 9 t 2 + 16 t        

E tira-lo da raiz

γ ' ( t ) = t 9 t 2 + 16 t

Logo, podemos falar que

d r = t 9 t 2 + 16 t   d t

Passo 4

Outra coisa muito importante antes de irmos para a integral é substituir os parâmetros na função que vamos integrar que nesse caso é função densidade:

ρ x ,   y = 1 18 y + 64      

Substituindo x e y ...

ρ γ ( t ) = 1 18 2 t 2 + 64      

ρ γ ( t ) = 1 36 t 2 + 64                    

Como 36 = 4 9 e 64 = 4 16 , podemos colocar o 4 em evidência

ρ γ ( t ) = 1 4 9 t 2 + 16            

ρ γ ( t ) = 1 2 9 t 2 + 16                              

Passo 5

Então retornando para a integral com tudo que a gente encontrou até agora, vamos ter

C   ρ x ,   y d r = C   ρ γ ( t ) d r    

Substituindo...

0 1   1 2 9 t 2 + 16 t 9 t 2 + 16 t   d t      

Podemos cortar essas duas raízes...

0 1   1 2 t   d t

Resolvendo essa integral...

1 2 t 2 2 0 1

E substituindo os limites, concluiremos que

M a s s a = C   ρ x ,   y d r = 1 4

Bem, o nosso problema ainda não acabou, pois devemos buscar o centro de massa desse arco. Bora lá? :)

Passo 6

Bem, como estamos trabalhando com uma curva no plano, ela terá duas coordenadas para o centro de massa: X c m e Y c m . E para determinar esses caras, basta seguir a teoria, ou seja:

X c m = C   x ρ x ,   y d r M a s s a

E

Y c m = C   y ρ x ,   y d r M a s s a

Veja que agora teremos de calcular essas duas outras integrais aí o que não é um grande problema, pois já determinamos ρ x ,   y d r !

Passo 7

Então calculemos a primeira integral

C   x ρ x ,   y d r

Substituindo ρ x ,   y d r

0 1   x 1 2 9 t 2 + 16 t 9 t 2 + 16 t   d t

Como estamos integrando em t não podemos ter esse x , então o substituímos pela parametrização x = t 3 . Ahhh! Já podemos cortar essas raízes!:)

0 1   t 3 1 2 t   d t =

1 2 0 1   t 4   d t

Resolvendo a integral

1 2 t 5 5 0 1 =

1 10

Logo,

X c m = C   x ρ x ,   y d r M a s s a        

X c m = 1 10 1 4 = 4 10 = 2 5

Passo 8

Fazendo o mesmo para a outra integral, mas dessa vez substituindo y = 2 t 2

C   y ρ x ,   y d r =

0 1 2 t 2 1 2 t   d t =

0 1 t 3   d t =

Integrando

t 4 4 0 1 =

1 4

Logo

Y c m = C   y ρ x ,   y d r M a s s a = 1 4 1 4 =

1

Concluímos que o centro de massa é

C e n t r o   d e   m a s s a = X c m ,   Y c m = 2 5 ,   1

Resposta

M a s s a = 1 4

C e n t .   M a s s a = 2 5 ,   1

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