Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 3, Questão 19

Um fio delgado tem a forma de reta que une os pontos 1,1 e 2,2 . Determine o momento de inércia em relação à reta y = - 1 , supondo que a densidade no ponto x , y é proporcional à distância do ponto ao eixo y .

Passo 1

Momento de inércia não tem erro, vamos usar a fórmula que vimos lá na teoria:

I L = C r 2 d m

Só que aqui a reta L é y = - 1 , vamos ver como que fica isso graficamente:

Aqui, dá pra ver que a distância r do de um ponto ( x , y ) no segmento (em vermelho) e e reta y = - 1 (em azul) é, simplesmente, sua coordenada y + 1 , ou seja, a fórmula fica:

I L = C r 2 d m = C y + 1 2 ρ x , y d s

Que a gente sabe calcular pela fómula da integral de linha:

C y + 1 2 ρ x , y d s = a b y t + 1 2 ρ x t , y ( t ) σ ' t d t

Agora vamos parametrizar a curva e encontrar esse densidade aí pra que possamos calcular a integral!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O segmento é bem tranquilo de parametrizar:

C : σ t = 1 + t , 1 + t ,       0 t 1

E o módulo do vetor normal fica:

σ ' t = d x d t 2 + d y d t 2 = 1 + 1 = 2

Passo 3

A densidade também não é nada muito elaborado, ele diz que é proporcional a distância ao eixo y , então simplesmete vamos ter:

ρ x , y = k x

Usando aquela paramentrização que vimos no passo anterior, a gente fica com algo assim:

ρ x t , y t = k 1 + t

Agora á só calcular a integral!

Passo 4

Substituindo tudo na nossa fórmula lá do passo 1, a gente vai ter:

a b y t + 1 2 ρ x t , y t σ ' t d t = 0 1 1 + t + 1 2 k 1 + t 2 d t

2 k 0 1 ( t 2 + 4 t + 4 ) ( t + 1 ) d t = 2 k 0 1 t 3 + 4 t 2 + 4 t + t 2 + 4 t + 4 d t

2 k 0 1 t 3 + 5 t 2 + 8 t + 4 d t = 2 k t 4 4 0 1 + 5 t 3 3 0 1 + 4 t 2 0 1 + 4 t 0 1

2 k 1 4 + 5 3 + 4 + 4 = 2 k 3 + 20 + 48 + 48 12 = 119 2 k 12

Então é isso, pronto!

Resposta

119 2 k 12

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