Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 3, Questão 15

Seja dado um arame semicircular homogêneo de raio 4   c m .

  1. Mostre que o centro de massa está situado no eixo de simetria a uma distância de 8 π   c m do centro
  2. Mostre que o momento de inércia em relação ao diâmetro que passa pelos extremos do arame é 8 M , sendo M a massa do arame.

Passo 1

a )

Vamos começar entendendo como é esse arame que ele deu, repara que temos um arame semicircular homogêneo. Isso nos diz duas coisas, uma que temos um semicírculo de raio 4 e outra que a densidade é constante. Como é a equação do círculo?

x 2 + y 2 = 4 2

Coloquei o caso mais básico, com a circunferência centrada na origem, mas como queremos uma semicircunferência vamos fazer y 0 , e a equação vai ficar

x 2 + y 2 = 4 2

y 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ele quer o centro de massa, primeiro antes de qualquer coisa temos que achar a massa desse arame.

A massa vai ser a integral de linha da função densidade, isso porque

d M = ρ d s

M = C ρ d s

A integral de linha é escalar, então precisamos achar uma parametrização para aplicar na fórmula

M = a b ρ x t ,   y t , z t .   | σ ' |   d t

Essa função ρ vai ser

ρ x , y , z = ρ

Passo 3

A curva que queremos parametrizar é

x 2 + y 2 = 16

Como já vimos, isso é uma circunferência, então

x t = 4 cos t

y t = 4 sen t

Como colocamos y 0 vamos ter

4 sen t 1

sen t 0

Isso faz com que

t 0 , π

A parametrização vai ser

σ t = 4 cos t , 4 sen t

Onde t 0 , π

Passo 4

Vamos calcular σ t '

σ t ' = - 4 sen t , 4 cos t

Passo 5

Vamos calcular σ t '

σ t ' = - 4 sen t 2 + 4 cos t 2 = 16 sen 2 t + 16 cos 2 t

16 sen 2 t + cos 2 t = 16 = 4

Passo 6

Substituindo na integral

a b ρ x t ,   y t .   | σ ' |   d t = a b ρ .   | σ ' |   d t

0 π ρ . 4 d t = 4 ρ 0 π d t = 4 ρ t t = 0 π = 4 ρ π - 0 = 4 π ρ

Passo 7

Agora para acharmos o centro de massa temos que fazer

x C M = C x ρ x , y , z d S M

E

y C M = C y ρ x , y , z d S M

Vamos começar com x , a parametrização já vimos como fica, o que muda é a função dentro da integral, então vamos a essa integral

C x ρ x , y , z d S = a b ρ x t .   σ ' d t

0 π ρ . 4 cos t 4 d t = 16 ρ 0 π cos t d t = 16 ρ sen t t = 0 π

16 ρ sen π - sen 0 = 16 ρ 0 - 0 = 0

Então

x C M = 0

Passo 8

Vamos agora para o y C M , para isso temos que resolver aquela integral da fórmula

C y ρ x , y , z d S = a b ρ y t .   σ ' d t

0 π ρ . 4 sen t 4 d t = 16 ρ 0 π sen t d t = 16 ρ - cos t t = 0 π

16 ρ - cos π - - cos 0 = 16 ρ - - 1 - - 1 =

16 ρ 1 + 1 = 32 ρ

Então

y C M = 32 ρ M

A massa já calculamos

y C M = 32 ρ 4 π ρ = 8 π

Assim o centro de massa vai ser

C M = 0 , 8 π

Passo 9

b )

Para o momento de inércia, nesse caso em duas dimensões pegando o momento de inércia em relação ao eixo x , vamos ter

I = C y 2 ρ x , y , z d S

A parametrização já vimos como fica, o que muda é a função dentro da integral, ela vai ficar

C y 2 ρ x , y , z d S = a b ρ y t 2 .   σ ' d t

0 π ρ . 4 sen t 2 4 d t = 4 ρ 0 π 16 sen 2 t d t

64 ρ 0 π sen 2 t d t

Lembrando que sen 2 t = 1 - cos 2 t 2 , continuando na integral

64 ρ 0 π 1 - cos 2 t 2 d t = 64 ρ t - sen 2 t 2 2 t = 0 π

64 ρ π - sen 2 π 2 2 - 0 - sen 2 0 2 2 = 64 ρ π - 0 2 - 0

64 ρ π 2 = 32 ρ π

Como a massa vai ser

M = 4 ρ π

Temos

I = 8 M

Resposta

  1. C M = 0 , 8 π

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