Exercícios Resolvidos de Choque de Partículas e Interseção de Curvas

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Enunciado

(Capítulo 13.1 – Exercício 47) Se dois objetos viajam pelo espaço ao longo de duas curvas diferentes, é sempre importante saber se eles vão colidir. (Será que um míssil atingiu seu alvo em movimento? Vão se colidir duas aeronaves?) As curvas podem se interceptar, mas precisamos saber se os objetos estarão na mesma posição no mesmo instante. Suponha que as trajetórias de duas partículas sejam dadas pelas seguintes funções vetoriais

r 1 t = t 2 , 7 t - 12 , t 2

r 2 t = 4 t - 3 , t 2 , 5 t - 6

Para t ≥ 0

As partículas colidem?

Passo 1

Olá oláaaa

Vamos entender esse exercício direto ao ponto: temos dois objetos, cada um viaja de acordo com uma curva:

r 1 t = t 2 , 7 t - 12 , t 2

r 2 t = 4 t - 3 , t 2 , 5 t - 6

Queremos saber se em algum instante t esses objetos vão se colidir, sacou?

Basicamente, pra isso, acontecer, as 3 coordenadas devem ser iguais no mesmo instante t , vamos ver se isso acontece (espero que não pois não queremos colisões por aqui)

Passo 2

Para as partículas colidirem, as trajetórias devem se interceptar no mesmo tempo t .

Assim, r 1 t = r 2 ( t )

r 1 t = t 2 , 7 t - 12 , t 2

r 2 t = 4 t - 3 , t 2 , 5 t - 6

Vamos igualar cada coordenada de r 1 e r 2 :

t 2 = 4 t - 3 7 t - 12 = t 2 t 2 = 5 t - 6

t 2 - 4 t + 3 = 0 t 2 - 7 t + 12 = 0 t 2 - 5 t + 6 = 0

t - 1 t - 3 = 0 t - 3 t - 4 = 0 t - 3 t - 2 = 0

Passo 3

Observando o sistema, vemos que as 3 equações zeram quando t = 3 , ou seja, as 3 são iguais nesse instante

Nas outras situações ( t = 1 , t = 2 , t = 4 ) , uma das coordenadas é igual em r 1 e r 2 , mas as outras não são.

Assim, as partículas colidem quando t = 3

E fimmm

Resposta

Colidem em t = 3

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