Enunciado

Duas partículas A e B estão em movimento e suas trajetórias respectivas são descritas por

σ A t = 2 sec ⁡ t , 2 tg ⁡ t

σ B t = ( 5 cos ⁡ t , 3 sen ⁡ t )

Com

0 ≤ t ≤ π 2

Onde t representa um instante de tempo. Então:

  1. A trajetória da partícula A está contida numa hipérbole que intersecta o eixo y , enquanto a trajetória da partícula B está contida numa elipse.
  2. As trajetórias das partículas se intersectam em dois pontos
  3. As partículas A e B colidem num instante 0 ≤ t * < π 2
  4. A trajetória da partícula A está contida numa hipérbole que intersecta o eixo x , enquanto a trajetória da partícula B está contida numa elipse.
  5. A partícula B percorre uma elipse completa

Passo 1

As opções falam de duas coisas:

  1. Qual curva que essas parametrizações representam?
  2. Será que as partículas se cruzam ou se chocam?

O jeito vai ser testar essas coisas.

Vamos começar vedno qual curva as parametrizações das trajetórias das curvas representam.

Passo 2

A trajetória da partícula A é descrita por

σ A t = 2 sec ⁡ t , 2 tg ⁡ t

Então temos que

x t = 2 sec ⁡ t

y t = 2 tg ⁡ t

Agora precisamos achar uma relação entre x e y para saber que curva é essa...

Como estamos falando de secante e tangente, provavelmente vamos tirar essa relação entre x e y a partir de relações trigonométricas.

E, de fafo, existe uma relação trigonométrica, que eu sei que provavelmente você não lembra (tudo bem, eu também não lembrava) que relaciona a secante com a tangente. É essa daqui:

tg 2 ⁡ t + 1 = sec 2 ⁡ t

A partir daí, podemos tirar que na nossa curva nós temos

y t 2 4 + 1 = x t 2 4

Arrumando melhor isso daí

x t 2 4 - y t 2 4 = 1

E isso representa uma cônica que a gente conhece, mais especificamente, uma hipérbole, que tá cortando o eixo x (variável com sinal positivo).

Então a trajetória da partícula A está contida numa hipérbole que intersecta o eixo x .

Com isso a gente meio que já mata a questão, né?

Porque só tem uma opção que fala disso...

Mas vamos continuar e provar a segunda parte dessa opção, que diz que a trajetória da partícula B está contida numa elipse.

Passo 3

A trajetória da partícula B é dada por

σ B t = ( 5 cos ⁡ t , 3 sen ⁡ t )

Então

x t = 5 cos ⁡ t

y t = 3 sen ⁡ t

De novo, temos funções trigonométricas, então provavelmente precisaremos usar alguma relação da trigonometria pra achar a relação entre x e y .

Mas desse vez temos seno e cosseno, então de repente da pra usar aquela relação batidona, que é a relação fundamental da trigonometria:

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

Essa nem precisou de muito esforço pra lembrar né?!

Beleza, então a partir dela a gente pode tirar que

x t 2 25 + y t 2 9 = 1

E isso nada mais é que a equação de uma elipse centrada na origem.

Show de bola, provamos tudo, achamos a opção certa e nem precisamos testar se as partículas se cruzavam ou chocavam!

Mas antes de terminar, só uma coisinha: vê se antes da prova você pega as relações trigonométricas pra dar uma olhadinha e uma relembrada... Aí você garante que se tiver uma questão dessa, você vai lembrar

Resposta

L e t r a   d

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