Exercícios Resolvidos de Choque de Partículas e Interseção de Curvas

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Enunciado

Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pelas funções vetoriais:

r 1 t = 10 i + t 2 j + 8 t - 15 k

r 2 t = 7 t - t 2 i + 6 t - 5 j + t 2 k

(a) As aeronaves não colidem.

(b) As aeronaves colidem no instante t = 2 .

(c) As aeronaves colidem no instante t = 5 .

(d) As aeronaves colidem no instante t = 3 .

(e) As trajetórias não se interceptam.

Passo 1

Nosso objetivo é descobrir se as duas trajetórias se encontram em algum momento, e, em caso afirmativo, em qual ponto isso acontece.

Para que as trajetórias se encontrem, todas as coordenadas precisam ser iguais, ou seja, podemos montar um sistema:

10 = 7 t - t 2

6 t - 5 = t 2

8 t - 15 = t 2

Se existir algum valor de t que mantém todas essas igualdades, vai ser o ponto em que as aeronaves colidem.

Passo 2

Vamos igualar as duas últimas equações (já que as duas tem t 2 isolado):

6 t - 5 = 8 t - 15

2 t = 10

t = 5

E agora vamos ver se essa solução satisfaz a primeira equação:

10 = 7 5 - 5 2

10 = 35 - 25 = 10

Ou seja, t = 5 satisfaz todas as equações, e as aeronaves colidem nesse instante.

Resposta

Letra (c).

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