Exercícios Resolvidos de Choque de Partículas e Interseção de Curvas

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Enunciado

As posições de duas partículas que se deslocam sobre um plano são dadas, a partir do tempo t = 0 , por:

σ 1 t = 1 + 2 t ,   6 + 2 t   e   σ 2 t = t , t 2 - 1 ,   t ≥ 0

Suas trajetórias descrevem as curvas C 1 e C 2 , respectivamente.

a) As partículas não se chocam, porém as curvas C 1 e C 2 se interceptam no ponto 3,8

b)As curvas C 1 e C 2 não se interceptam.

c) As partículas não se chocam, porém as curvas C 1 e C 2 se interceptam no ponto - 2,3

d) As partículas não se chocam, porém as curvas C 1 e C 2 se interceptam nos pontos - 2,3 e 3,8

e) As partículas se chocam nos pontos ( - 2,3 )   e 3,8

Passo 1

Vamos começar vendo se as curvas C 1 e C 2 se interceptam. Para isso, devemos ter:

σ 1 t 1 = σ 2 t 2

1 + 2 t 1 ,   6 + 2 t 1 = t 2 , t 2 2 - 1

1 + 2 t 1 = t 2 6 + 2 t 1 = t 2 2 - 1

Passo 2

Resolvendo esse sistema, usando a primeira na segunda equação:

6 + 2 t 1 = 1 + 2 t 1 2 - 1

4 t 1 2 + 2 t 1 - 6 = 0

Temos duas possibilidades:

t 1 = 1   e   t 1 = - 1,5

Porém, t ≥ 0 . Logo, a única possibilidade é:

t 1 = 1

Passo 3

Substituindo em σ 1 t vamos ter:

σ 1 1 = 3,8

Logo, as curvas se interceptam em 3,8  

Passo 4

Agora vamos verificar se as partículas se chocam, ou seja, se existe um t 0 tal que :

σ 1 t 0 = σ 2 t 0

1 + 2 t 0 ,   6 + 2 t 0 = t 0 , t 0 2 - 1

1 + 2 t 0 = t 0 6 + 2 t 0 = t 0 2 - 1

Passo 5

Da primeira equação, temos:

t 0 = - 1

O que é impossível pois t ≥ 0 . Logo, as partículas não se chocam.

Resposta

a) As partículas não se chocam, porém as curvas C 1 e C 2 se interceptam no ponto 3,8

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