Exercícios Resolvidos de Choque de Partículas e Interseção de Curvas

UFRJ, Cálculo Diferencial e Integral 2, PF 2014.1, questão múltipla escolha 7

Duas partículas se movem no espaço e suas posições são dadas por

r 1 t = t , t 2 , t 3     e       r 2 t = 1 + 2 t ,   1 + 6 t ,   1 + 14 t

para t 0 . Suas trajetórias descrevem curvas C 1 e C 2 , respectivamente.

As partículas se chocam?

As partículas se cruzam? Se sim, em qual(is) ponto(s)?

Passo 1

Vamos primeiro testar se as partículas se chocam, ok? O choque significa ocupar a mesma posição no espaço no mesmo tempo t , ou seja

r 1 t = r 2 ( t )

t , t 2 , t 3 = 1 + 2 t ,   1 + 6 t ,   1 + 14 t

Isso nos dá um sistema:

t = 1 + 2 t t 2 = 1 + 6 t t 3 = 1 + 14 t

A primeira equação dá:

t = - 1

Podemos ver facilmente que as outras equações não vão dar certo! A gente teria que ter

- 1 2 = 1 - 6 = - 5

- 1 3 = 1 - 14 = - 13

o que é totalmente errado!

Logo, as partículas não se chocam. Já eliminamos as 2 últimas alternativas! :)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, se as curvas se interceptam, isso significa que as partículas ocuparam a mesma posição no espaço em tempos diferentes t 1 e t 2 . Então temos

r 1 t 1 = r 2 ( t 2 )

t 1 , t 1 2 , t 1 3 = 1 + 2 t 2 ,   1 + 6 t 2 ,   1 + 14 t 2

Caímos no sistema

t 1 = 1 + 2 t 2 1 t 1 2 = 1 + 6 t 2 2 t 1 3 = 1 + 14 t 2 3

Pelas equações ( 1 ) e ( 2 ) , temos

t 1 2 = 1 + 2 t 2 2 = 1 + 6 t 2

    1 + 4 t 2 + 4 t 2 2 = 1 + 6 t 2

    4 t 2 2 - 2 t 2 = 0

  2 t 2 2 t 2 - 1 = 0

    t 2 = 0       o u       2 t 2 = 1 t 2 = 1 2

Se t 2 = 0 :

t 1 = 1 + 2 t 2 = 1

Se t 2 = 1 2 :

t 1 = 1 + 1 = 2

Passo 3

Obtivemos os tempos em que C 1 e C 2 se interceptam: : t 1 , t 2 = ( 1,0 ) e t 1 , t 2 = 2 , 1 2 .

Portanto, as curvas se interceptam em 2 pontos:

r 1 1 = r 2 0 = ( 1,1 , 1 )

e

r 1 2 = r 2 1 2 = ( 2,4 , 8 )

Resposta

As partículas não se chocam, porém as curvas C 1 e C 2 se interceptam nos pontos ( 1,1 , 1 ) e ( 2,4 , 8 ) .

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