Exercícios Resolvidos de Choque de Partículas e Interseção de Curvas

UFRJ, Cálculo Diferencial e Integral 2, P1 2010.2, questão 3.4

Uma partícula P 1 se move ao longo da curva C 1 definida por

σ 1 t = t 2 ,   t 3 ,   t R

E uma partícula P 2 se move ao longo da curva C 2 definida por

σ 2 t = cos 2 t ,   2 cos 2 t - 1 ,   t 0 , π 4

Em que pontos as trajetórias dos pontos P 1 e P 2 se cruzam? As partículas vão colidir?

Passo 1

Vamos resolver o item (a):

Fazer a igualdade e encontrar sistema:

σ 1 t 1 = σ 2 ( t 2 )

t 1 2 ,   t 1 3 = ( cos 2 t 2 ,   2 cos 2 t 2 - 1 )

Logo:

t 1 2 = cos 2 t 2   t 1 3 =   2 cos 2 t 2 - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolver o sistema:

Vamos reescrever a segunda equação evitando o termo com o cosseno ao quadrado. Lembre-se de que podemos sempre dizer que:

cos 2 t + sen 2 t = 1

cos 2 t - sen 2 t = cos ( 2 t )

cos 2 t = 1 2 1 + cos 2 t

Remanejando esse resultado, temos então que:

2 cos 2 t - 1 = cos 2 t

Logo:

2 cos 2 t 2 - 1 = cos 2 t 2 = cos 2 t 2 1 2

Vamos reescrever nossas equações:

t 1 2 = cos 2 t 2   t 1 3 =   cos 2 t 2 1 2

Passo 3

Observe que a tanto na primeira quanto na segunda equação, os termos devem ser positivos. Na primeira, porque temos um número elevado ao quadrado de um lado da equação. E na segunda porque temos uma raiz quadrada.

Então podemos elevar a primeira equação por 3 e a segunda por 2 :

t 1 2 3 = cos 2 t 2 3   t 1 3 2 = cos 2 t 2 1 2 2

t 1 6 = cos 2 t 2 3   t 1 6 = cos ( 2 t 2 )

Passo 4

Igualando os segundos membros das equações, encontramos o seguinte:

cos 2 t 2 3 = cos ( 2 t 2 )

Chamemos w = cos 2 t :

w 3 = w

w 3 - w = 0

w w 2 - 1 = 0

w w + 1 w - 1 = 0

Então:

w = cos ( 2 t 2 ) = 0 1 - 1

Passo 5

Lembrando que o enunciado nos diz que t 2 0 , π 4 , podemos então encontrar as soluções dessas equações:

cos ( 2 t 2 ) = 0 2 t 2 = π 2 t 2 = π 4 cos ( 2 t 2 ) = 1 t 2 = 0 cos ( 2 t 2 ) = - 1   t 2

Observe que não há nenhum valor para t 0 , π 4 cujo cos ( 2 t ) é negativo. Por isso, a última equação não tem solução.

Passo 6

Agora vamos calcular os respectivos valores de t 1 para cada valor de t 2 :

t 1 2 = cos ( 2 t 2 )

t 2 = π 4 cos ( 2 t 2 ) = 0 t 1 2 = 0 t 1 = 0

t 2 = 0 cos ( 2 t 2 ) = 1 t 1 2 = 1 t 1 = 1

Observação: Da equação t 1 3 = cos 2 t , sabemos que t 1 0 , por isso t 1 - 1 na segunda equação acima!

Passo 7

Calcular σ 1 ( t 1 ) ou σ 2 t 2 para encontrar o(s) ponto(s):

Parece mais convidativo calcular σ 1 ( t 1 ) :

t 1 = 0 σ 1 t 1 = ( 0 ,   0 )

t 1 = 1 σ 1 t 1 = ( 1 ,   1 )

Passo 8

Maravilha! E as partículas colidem?

Claro que não! Pois t 1 t 2 nos dois casos.

Logo, as partículas nunca colidirão!

Resposta

As trajetórias se cruzam em ( 0 ,   0 ) e ( 1 ,   1 ) .

As partículas não vão colidir.

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