Exercícios Resolvidos de Comprimento de Onda de De Broglie

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Enunciado

Elétrons podem exibir um comportamento ondulatório. Numa experiência de difração, elétrons não relativísticos com energia cinética K incidem sobre uma fenda de largura a . Um detetor sobre uma tela a uma distância L ≫ a pode ser deslocado ao longo da direção y , conforme a figura.

  1. Expresse o comprimento de onda λ de de Broglie dos elétrons em termos da sua energia cinética K .
  2. Qual é o menor valor para a posição y do detetor onde não são observados elétrons?

Passo 1

Letra a)

A energia cinética de uma partícula se relaciona com seu momento linear.

p = m v

p 2 = m 2 v 2

p 2 2 m = m v 2 2 = K

p = 2 m K

Assim, o comprimento de onda de de Broglie fica:

λ = h p = h 2 m K

Passo 2

Letra b)

Podemos considerar esse como sendo um experimento de difração por fenda simples, onde a onda incidente (os elétrons) têm o comprimento de onda calculado na letra a .

Nós nunca encontraremos elétrons onde seriam “franjas escuras”, que correspondem com mínimos de difração.

A condição para achar o mínimo de difração é (Essa condição só vale para L ≫ a ):

a sen ⁡ θ = m λ ;     m = 1 ,   2 ,   …

Para ângulos bem pequenos, podemos fazer:

sen ⁡ θ ≈ tan ⁡ θ

Sendo que a tangente é dada pela geometria do problema:

tan ⁡ θ = y L

O primeiro mínimo corresponde a m = 1 , e teremos então:

y ≈ L λ a = L ⋅ h a 2 m K

Resposta

Letra a

λ = h 2 m K

Letra b  

y ≈ L λ a = L ⋅ h a 2 m K

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