Exercícios Resolvidos de Comprimento de Onda de De Broglie

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Enunciado

Uma partícula não relativística com energia de repouso de 1   e V está confinada em uma caixa unidimensional de tamanho L , ocupando o primeiro estado excitado. Determine o tamanho L para que a energia cinética da partícula seja dada por 2   e V .

a) 620   n m .

b) 31 0   n m .

c) 155   n m .

d) 78   n m .

e) 500   n m .

Passo 1

Da teoria, lembramos que para uma partícula confinada numa caixa rígida unidimensional, as energias dessa partícula são dadas por:

E n = n 2 h 2 8 m L 2

Onde n = 2 , pois o enunciado diz que a partícula está no primeiro estado excitado.

h = 6,63 × 10 - 34   J . s

E n = E 2 = 2   e V = 2 × 1,6 × 10 - 19 = 3,2 × 10 - 19   J

m teremos que descobrir.

Passo 2

Para achar a massa da partícula usaremos a informação do enunciado que diz que a energia de repouso da partícula é de 1   e V , ou seja, E 0 = 1   e V . Lembramos da teoria da relatividade especial que a energia de repouso de uma partícula qualquer é dada por:

E 0 = m c 2

Onde E 0 = 1   e V = 1 × 1,6 × 10 - 19 = 1,6 × 10 - 19   J

c = 3 × 10 8   m / s

Então:

m = 1,6 × 10 - 19 3 × 10 8 2  

m = 1,77 × 10 - 36   k g

Passo 3

Agora podemos calcular qual será o tamanho da caixa:

E n = n 2 h 2 8 m L 2

3,2 × 10 - 19 = 2 2 6,63 × 10 - 34 2 8 × 1,77 × 10 - 36 × L 2

L = 622   n m ≅ 620   n m

Resposta

Letra (a): 620   n m .

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