Exercícios Resolvidos de Comprimento de Onda de De Broglie

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Enunciado

Um experimento de dupla fenda com elétrons gera uma distribuição de franjas em um anteparo de observação. As franjas brilhantes são separadas por uma distância Δ y e .

Suponha que a mesma experiência seja repetida com prótons, mantendo-se idênticas as demais condições do experimento. Neste caso, a distância entre as franjas no anteparo é dada por Δ y p . Considere as afirmações a seguir e marque a alternativa CORRETA.

  1. Caso os prótons incidentes na dupla fenda possuam a mesma energia que os elétrons, Δ y p < Δ y e .
  2. Caso os prótons incidentes na dupla fenda possuam a mesma velocidade que os elétrons, Δ y p > Δ y e .
  3. Caso os prótons incidentes na dupla fenda possuam o mesmo momento linear que os elétrons, Δ y p = Δ y e .
  1. Apenas I e I I I são verdadeiras.
  2. Apenas I e I I são verdadeiras.
  3. Apenas I I e I I I são verdadeiras.
  4. Todas são verdadeiras.
  5. Nenhuma é verdadeira.
  6. Apenas I é verdadeira.
  7. Apenas I I é verdadeira.

Passo 1

Nossa boa e velha avaliação das afirmações. Só uma observação: ele está fazendo um experimento de dupla fenda com... elétrons.

Mas tudo bem! De acordo com de Broglie, elétrons também são ondas. Esse é um problema de onda de de Broglie.

Além disso, no experimento, a distância entre duas franjas consecutivas que estejam muuuito próximas do centro da figura pode ser dada aproximadamente por:

Δ y = R λ d

Onde R é a distância da fenda ao anteparo, d é a distância entre as fendas e λ é o comprimento de onda (era da luz, agora é de de Broglie para o elétron ou o próton). Ou seja, Δ y é diretamente proporcional ao comprimento de onda.

Além disso, o comprimento de onda de de Broglie de uma partícula é dado por:

λ = h p

Onde p é o momento linear da partícula.

Passo 2

I .   Caso os prótons incidentes na dupla fenda possuam a mesma energia que os elétrons, Δ y p < Δ y e .

VERDADEIRO

Primeiro, vamos considerar que ambos só possuem energia cinética. Assim, podemos relacionar o comprimento de onda de de Broglie com a energia.

Relacionando o momento linear com a energia cinética:

p = m v

p 2 2 m = m v 2 2 = K

p = 2 m K

Substituindo:

λ = h 2 m K

Se os dois têm mesma energia, então K p = K e . Porém, a massa do próton é maior, o que faz com que λ p seja menor, e logo Δ y p < Δ y e .

I I .   Caso os prótons incidentes na dupla fenda possuam a mesma velocidade que os elétrons, Δ y p > Δ y e .

FALSO

Substituindo a definição de momento linear:

λ = h m v

Se a velocidade dos elétrons e dos prótons for igual, temos que λ p < λ e , porque a massa do próton é maior.

Isso implica que Δ y p < Δ y e .

I I I .   Caso os prótons incidentes na dupla fenda possuam o mesmo momento linear que os elétrons, Δ y p = Δ y e .

VERDADEIRO

Se o momento linear dos dois for igual, temos λ p = λ e . Logo, Δ y p = Δ y e .

A resposta então é a letra a , apenas I e I I I são verdadeiras.

Resposta

Letra a

Apenas I e I I I são verdadeiras.

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