Exercícios Resolvidos de Dependência Linear e Proposições

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Enunciado

Escolha uma opção. Dizer que { v 1 ,   v 2 ,   … , v n } é L I é o mesmo que dizer que:

  1. Se λ 1 = … = λ n = 0 , então λ 1 v 1 + … + λ n v n = 0
  2. λ 1 v 1 + … + λ n v n = 0 para todo λ i ∈ R
  3. Se λ 1 v 1 + … + λ n v n = 0 , então λ 1 = … = λ n = 0
  4. v i ≠ 0 para todo i = 1 , … , n
  5. v i não é múltiplo de v k se i ≠ k

Passo 1

Vamos lembrar da definição de independência linear:

Um conjunto { v 1 ,   v 2 ,   … , v n } é linearmente independente quando o único jeito da equação λ 1 v 1 + … + λ n v n = 0 é quando λ 1 = … = λ n = 0 .

Logo a letra a) é falsa, pois ela diz que se os coeficientes são nulos então os vetores são L I , o que é mentira, pois um conjunto L D também pode possuir coeficientes nulos (afinal tem infinitas possibilidades, não é mesmo?)

A letra b), não restringe apenas para λ i = 0 e sim para qualquer real, então, desse modo o conjunto seria L D .

Passo 2

Por sua vez, a letra c) seria a reposta correta. O que a proposição nos diz, é que a C L dos vetores é igual a zero, então COM CERTEZA os coeficientes serão nulos. Acho que talvez esse COM CERTEZA não estivesse tão explicito na proposição né? Rs. Mas é exatamente isso que ela quer dizer.

Na letra d), basta lembrar que a definição de L I , não impõe somente que o vetor não seja nulo. E por fim a letra e), só serve para um conjunto de dois vetores.

Resposta

Letra c)