Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade – Cálculo do Erro

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Enunciado

Considere a função f x , y = x ln ⁡ x 2 + y 2 - 1 .

  1. Obtenha uma equação para o plano tangente ao gráfico de f no ponto 1,1 , f 1,1 .
  2. Use uma linearização conveniente de f para obter um valor aproximado de

1,01 ln ⁡ 1,01 2 + 0,98 2 - 1

Passo 1

Se queremos calcular a equação de um plano tangente, vamos lembrar como que o calculamos. Seja um ponto de coordenadas x 0 , y 0 , z 0 . Então, a equação do plano tangente é dada por:

z - z 0 = f x x 0 , y 0 ⋅ x - x 0 + f y x 0 , y 0 ⋅ y - y 0

Para esta questão, sabemos que x 0 = 1 e y 0 = 1 . Portanto, o nosso z 0 = f 1,1 = 0 .

Já sabemos então a maior parte dos parâmetros para resolvermos esta questão. Só nos resta então calcular as derivadas f x x 0 , y 0 e f y x 0 , y 0 .

Sendo assim, nós precisamos calcular as derivadas parciais da nossa função. Portanto,

f x x , y = ln ⁡ x 2 + y 2 - 1 + x x 2 + y 2 - 1 ⋅ 2 x

f y x , y = x x 2 + y 2 - 1 ⋅ 2 y

Agora, calculando as derivadas no ponto 1,1 , temos:

f x 1,1 = 2

f y 1,1 = 2

Sendo assim, a equação do plano tangente é:

z - 0 = 2 ⋅ x - 1 + 2 ⋅ y - 1

z = 2 x + 2 y - 4

E assim finalizamos a letra a).

Passo 2

Queremos agora determinar um valor aproximado para calcular a função f 1,01 ; 0,98 . Para resolvermos esta questão, vamos utilizar a relação desenvolvida na letra a).

Isto é, vamos obter uma linearização para a nossa função f em torno do ponto 1,1 , pois este ponto é próximo do ponto que queremos calcular 1,01 ; 0,98 .

Mas sim, como faremos isto? Simples. Basta pegarmos o z do nosso plano tangente e chamarmos de L x , y , isto é, de função linearização. Portanto,

L x , y = 2 x + 2 y - 4

Aproximando a nossa função pela função linearização, temos:

f 1,01 ; 0,98 ≈ L 1,01 ; 0,98

L 1,01 ; 0,98 = 2 ⋅ 1,01 + 2 ⋅ 0,98 - 4 = - 0,02

Portanto, o valor aproximado da nossa função é -0,02.

Resposta

  1. z = 2 x + 2 y - 4
  2. -0,02.

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