Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade – Cálculo do Erro

Derivadas Parciais e Vetor Gradiente

Mostre que a função

f x , y = x y x 3 - y 3 x 2 + y 2 x , y ≠ 0,0 0 x , y = 0,0

É diferenciável.

Passo 1

Para a função ser diferenciável, ela precisa ter derivadas parciais e o limite

lim h , k → 0,0 ⁡ f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 - ∂ f ∂ x x 0 , y 0 h - ∂ f ∂ y x 0 , y 0 k h 2 + k 2

Deve ser 0 .

Vamos começar vendo que ela é diferenciável em qualquer ponto diferente de 0,0 , depois olhamos o 0,0 isso porque as derivadas parciais devem ser feitas pela definição sacou?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Antes de fazer a derivada vamos dar uma arrumada na função

f x , y = x 4 y - x y 4 x 2 + y 2 x , y ≠ 0,0 0 x , y = 0,0

As derivadas parciais vão ser

∂ f ∂ x = 4 x 3 y - y 4 x 2 + y 2 - 2 x x 4 y - x y 4 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ x = 4 x 5 y + 4 x 3 y 3 - y 4 x 2 - y 6 - 2 x 5 y + 2 x 2 y 4 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ x = 2 x 5 y + 4 x 3 y 3 + y 4 x 2 - y 6 x 2 + y 2 2

A derivada em relação a y vai ser

∂ f ∂ y = x 4 - 4 x y 3 x 2 + y 2 - 2 y x 4 y - x y 4 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = x 6 + x 4 y 2 - 4 x 3 y 3 - 4 x y 5 - 2 x 4 y 2 + 2 x y 5 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = x 6 - x 4 y 2 - 4 x 3 y 3 - 2 x y 5 x 2 + y 2 2

Aqui não vamos precisar fazer a função erro, porque garantimos que as duas derivadas parciais vão ser contínuas em qualquer ponto fora 0,0 , no 0,0 não podemos afirmar nada, mas podemos dizer que como a função tem as derivadas parciais contínuas então ela é derivável fora de 0,0

Passo 3

Vamos agora as derivadas parciais em 0,0 , lembra de definição? Feiosinha mas é o que temos

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ x 4 ∙ 0 - x 0 4 x 2 + 0 2 - 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ 0 - 0 x - 0 = 0

Já temos a primeira derivada, calma que ainda não acabou, respira fundo e vamos continuar, agora para a derivada em y

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0 = lim y → 0 ⁡ 0 4 y - 0 y 4 0 2 + y 2 - 0 y - 0 = lim y → 0 ⁡ 0 - 0 y - 0 = 0

Passo 4

Vamos agora para o erro, vulgo aquele limite loucão que fazemos

lim h , k → 0,0 ⁡ f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 - ∂ f ∂ x x 0 , y 0 h - ∂ f ∂ y x 0 , y 0 k h 2 + k 2

lim h , k → 0,0 ⁡ f h , k - f 0,0 - ∂ f ∂ x 0,0 h - ∂ f ∂ y 0,0 k h 2 + k 2

lim h , k → 0,0 ⁡ h k h 3 - k 3 h 2 + k 2 - 0 - 0 h - 0 k h 2 + k 2

lim h , k → 0,0 ⁡ h k h 3 - k 3 h 2 + k 2 h 2 + k 2

Temos um limite muito louco para resolver, vamos resolver ele com calma no próximo passo.

Passo 5

Podemos fazer:

lim h , k → 0,0 ⁡ h k h 3 - k 3 h 2 + k 2 h 2 + k 2 .   h 2 + k 2 h 2 + k 2

Apenas multiplicamos o numerador e o denominador por h 2 + k 2 . O limite fica:

lim h , k → 0,0 ⁡ h k h 3 - k 3 h 2 + k 2 h 2 + k 2 h 2 + k 2   =   lim h , k → 0,0 ⁡ h k h 3 - k 3 h 2 + k 2 h 2 + k 2 2  

Aplicando a distributiva no numerador, temos:

lim h , k → 0,0 ⁡ h k h 3 - k 3 h 2 + k 2 h 2 + k 2 2   = lim h , k → 0,0 ⁡ h 4 k h 2 + k 2 h 2 + k 2 2   - lim h , k → 0,0 ⁡ k 4 h h 2 + k 2 h 2 + k 2 2  

Passo 6

Vamos calcular:

lim h , k → 0,0 ⁡ h 4 k h 2 + k 2 h 2 + k 2 2  

Repara que

0 ≤ h 2 ≤ h 2 + k 2

Elevando ao quadrado:

0 ≤ h 4 ≤ h 2 + k 2 2

Dividindo tudo por h 2 + k 2 2 , vamos ter:

0 ≤ h 4 h 2 + k 2 2 ≤ 1

Multiplicando tudo por k h 2 + k 2 , temos:

Caso 1: k h 2 + k 2 > 0

0 ≤ h 4 k h 2 + k 2 h 2 + k 2 2 ≤ k h 2 + k 2

Tomando o limite:

0 ≤ lim h , k → 0,0 ⁡ h 4 k h 2 + k 2 h 2 + k 2 2   ≤ 0

Caso 2: k h 2 + k 2 < 0

0 ≥ h 4 k h 2 + k 2 h 2 + k 2 2 ≥ k h 2 + k 2

Tomando o limite:

0 ≥ lim h , k → 0,0 ⁡ h 4 k h 2 + k 2 h 2 + k 2 2   ≥ 0

Em ambos os casos temos:

lim h , k → 0,0 ⁡ h 4 k h 2 + k 2 h 2 + k 2 2   = 0

Passo 7

Vamos usar o mesmo raciocínio para encontrar lim h , k → 0,0 ⁡ k 4 h h 2 + k 2 h 2 + k 2 2   . Repara que:

0 ≤ k 2 ≤ h 2 + k 2

Elevando ao quadrado:

0 ≤ k 4 ≤ h 2 + k 2 2

Dividindo tudo por h 2 + k 2 2 , vamos ter:

0 ≤ k 4 h 2 + k 2 2 ≤ 1

Multiplicando tudo por h h 2 + k 2 , temos:

Caso 1: h h 2 + k 2 > 0

0 ≤ k 4 h h 2 + k 2 h 2 + k 2 2 ≤ h h 2 + k 2

Tomando o limite:

0 ≤ lim h , k → 0,0 ⁡ k 4 h h 2 + k 2 h 2 + k 2 2   ≤ 0

Caso 2: h h 2 + k 2 < 0

0 ≥ k 4 h h 2 + k 2 h 2 + k 2 2 ≥ h h 2 + k 2

Tomando o limite:

0 ≥ lim h , k → 0,0 ⁡ k 4 h h 2 + k 2 h 2 + k 2 2   ≥ 0

Em ambos os casos temos:

lim h , k → 0,0 ⁡ k 4 h h 2 + k 2 h 2 + k 2 2   = 0

Passo 8

Logo, temos:

lim h , k → 0,0 ⁡ h 4 k h 2 + k 2 h 2 + k 2 2   - lim h , k → 0,0 ⁡ k 4 h h 2 + k 2 h 2 + k 2 2   = 0 - 0 = 0

Como lim h , k → 0,0 ⁡ f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 - ∂ f ∂ x x 0 , y 0 h - ∂ f ∂ y x 0 , y 0 k h 2 + k 2 = 0

Então a função é diferenciável em 0,0 .

Passo 9

Vimos que fora de 0,0 ela é diferenciável, e em 0,0 ela é diferenciável, então ela é diferenciavel em qualquer ponto.

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