Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade – Cálculo do Erro

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Enunciado

Seja f x , y = x y 1 3 .

a) Calcule as derivadas parciais de f nos pontos x , y tais que x y ≠ 0 .

b) Calcule as derivadas parciais de f em 0,0 .

c) Existem f x 0 , b e f y a , 0 quando a e b são não-nulos?

d) Determine os pontos em que f é diferenciável. Justifique.

Passo 1

a) Bom, esse passo é só derivar normalmente a função! Se temos:

f x , y = x y 1 3

Então,

f x = 1 3 x y - 2 3 . y

f y = 1 3 x y - 2 3 . x

Pronto, só isso!

Passo 2

b) Agora, vejamos as derivadas em 0,0 . Como nesse ponto as derivadas calculadas no item a possuem indeterminação, vamos calculá-las pelo limite da derivada.

Para a derivada em relação a x , teremos:

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0

Colocando a função   f , teremos:

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ x . 0 1 3 - 0.0 1 3 x = lim x → 0 ⁡ 0 x = 0

Ou seja, temos que a derivada em relação a x é 0 !

Agora, fazendo o mesmo para a derivada em relação a y , teremos:

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0

Colocando a f x , y , fica:

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ 0 . y 1 3 - 0,0 1 3 y = lim y → 0 ⁡ 0 y = 0

E aí temos que a derivada em relação a y também vale 0 :D Pronto, só isso mesmo!

Passo 3

c) Aqui é basicamente resolver de novo o passo anterior, mas trocando o 0 por a ou b dependendo do caso. Por exemplo, para a derivada em relação a x , teríamos:

∂ f ∂ x 0 , b = lim x → 0 ⁡ f x , b - f 0 , b x - 0

Colocando a função   f , teremos:

∂ f ∂ x 0 , b = lim x → 0 ⁡ x b 1 3 - 0 . b 1 3 x = b 1 3 x 2 3

Ou seja, se temos b > 0 o limite vai para infinito positivo, e para b < 0 , vamos para o infinito negativo! Assim, não existe derivada para qualquer ponto 0 , b .

Agora, fazendo o mesmo para a derivada em relação a y , teremos:

∂ f ∂ y a , 0 = lim y → 0 ⁡ f a , y - f a , 0 y - 0

Colocando a função   f , teremos:

∂ f ∂ y a , 0 = lim y → 0 ⁡ a y 1 3 - a . 0 1 3 y = a 1 3 y 2 3

Ou seja, se temos a > 0 o limite vai para infinito positivo, e para a < 0 , vamos para o infinito negativo! Assim, não existe derivada para qualquer ponto 0 , a .

Passo 4

Para ver se a função é diferenciável no ponto em questão, 0,0 , precisamos resolver esse limite:

lim h , k → 0,0 ⁡ f 0 + h , 0 + k - f 0,0 - ∂ f ∂ x 0,0 h - ∂ f ∂ y 0,0 k h 2 + k 2

E ver para que pontos ele dá 0 ! Para tais pontos, a função será diferenciável ;)

Como as derivadas parciais na origem valem 0 , então temos que esse limite gigante se resume a:

lim h , k → 0,0 ⁡ h k 1 3 - 0.0 1 3 - 0 h - 0 k h 2 + k 2 =

lim h , k → 0,0 ⁡ h k 1 3 h 2 + k 2

Para resolver agora esse limite de duas variáveis, escolhamos o caminho t , t , por exemplo:

lim t → 0 ⁡ t 2 1 3 t 2 + t 2 =

Como o grau de cima é menor que o de baixo, teremos:

lim t → 0 ⁡ t 2 3 2 . t =

lim t → 0 ⁡ 1 2 . t 1 3

E, quando t → 0 , temos o limite indo para + ∞ ! Dessa forma, vemos que o limite não pode existir, e, portanto, a função não pode ser diferenciável!

Passo 5

Sabemos que as derivadas parciais não existem para caminhos do tipo b , 0 e 0 , a . Sabemos, também, pelo limite calculado no passo anterior, que a função não é diferenciável em 0,0 . E, além disso, em lugares nos quais x y ≠ 0 elas existem e são contínuas.

Assim, a função é diferenciável apenas nos pontos tais que x y ≠ 0 !

Resposta

a) f x = 1 3 x y - 2 3 . y e f y = 1 3 x y - 2 3 . x

b) f x 0,0 = f y 0,0 = 0

c) Não existem derivadas para pontos do tipo 0 , a ou b , 0

d) A função é diferenciável nos pontos tais que x y ≠ 0

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