Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade – Cálculo do Erro

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Enunciado

Seja a função

f x , y = 5 x 2 y x 2 + y 4 s e x , y ≠ 0,0 0 s e x , y = 0,0

a) A função f é contínua em 0,0 ? Justifique.

b) Determine, caso exista, ∇ f 0,0 .

c) A função f é diferenciável em 0,0 ? Justifique.

Passo 1

a) Para ver se uma função é contínua ou não em um determinador ponto, precisamos verificar se o limite quando ela tende a esse ponto é o mesmo que o valor que ela assume nele! No caso, como em 0,0 o valor de f 0,0 = 0 , temos que verificar se:

l i m x , y → 0,0 5 x 2 y x 2 + y 4 = 0

Se essa equação for realmente verdade, então a função é contínua :D

Passo 2

Temos uma soma das variáveis no denominador, ambas com grau par, certo? E no numerador aparece o x 2 novamente... Quando temos algo nesse formato, devemos isolar a fração assim:

5 x 2 y x 2 + y 4 = 5 y . x 2 x 2 + y 4

Mas por que? Veja só o que podemos fazer com a fração, aplicando o Teorema do Sanduíche:

0 ≤ x 2 ≤ x 2 + y 4

Certo? Um número ao quadrado, x 2 é sempre maior ou igual a 0 e maior ou igual a ele mesmo somado a um outro elevado à quarta potência.

Dividindo, agora tudo por x 2 + y 4 , fica:

0 ≤ x 2 x 2 + y 4 ≤ x 2 + y 4 x 2 + y 4

0 ≤ x 2 x 2 + y 4 ≤ 1

Ou seja, a fração que ficou no meio é limitada entre 0 e 1 !

Passo 3

Agora, podemos usar esse fato da fração ser limitada para encontrar o limite:

l i m x , y → 0,0 5 y ⏞ v a i   p r a   0 . x 2 x 2 + y 4 ⏞ l i m i t a d a = 0

Como 5 y vai pra 0 quando x , y → 0,0 , e a fração é limitada, então o limite dá 0 ! Como o valor que a função assume na origem é realmente 0 , então ela é contínua!

Passo 4

b) Para encontrar as derivadas parciais e formar o vetor gradiente, temos que resolver os limites que definem essas derivadas.

Para encontrar f x , teremos:

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0

Colocando o valor de f 0,0 = 0 e f x , 0 , teremos:

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ 5 x 2 . 0 x 2 + 0 4 - 0 x = 0 x 3 = 0

Show? Como o numerador foi pra 0 antes mesmo de fazermos o limite, então ele vale 0 :D

Passo 5

Agora vamos fazer a derivada em relação a y ? Ela é:

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0

Colocando f 0,0 e f 0 , y ,

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ 5 0 2 . y 0 2 + y 4 - 0 y - 0 = 0 y 5 = 0

Show? O limite vale 0 novamente, e a derivada vale 0 ! Assim, o vetor gradiente fica:

∇ f 0,0 = 0,0

Passo 6

c) Vamos verificar se a função é diferenciável? Basta jogar no limite aqui de baixo e ver se ele vale 0 :)

lim h , k → 0,0 ⁡ f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 - ∂ f ∂ x x 0 , y 0 h - ∂ f ∂ y x 0 , y 0 k h 2 + k 2

Colocando x 0 , y 0 = 0,0 , teremos:

lim h , k → 0,0 ⁡ f 0 + h , 0 + k - f 0,0 - ∂ f ∂ x 0,0 h - ∂ f ∂ y 0,0 k h 2 + k 2

Colocando os valores das derivadas, da função em 0,0 e em h , k ,

lim h , k → 0,0 ⁡ 5 h 2 k h 2 + k 4 - 0 - 0 h - 0 k h 2 + k 2

Ajeitando...

lim h , k → 0,0 ⁡ 5 h 2 k h 2 + k 4 h 2 + k 2

Passo 7

Show, agora vamos resolver esse limite de duas variáveis? Comecemos por escolher um caminho que não dê problema... Se fizermos pela curva t , t , o denominador não anula, então, tentemos :D

Colocando x , y = t , t , teremos:

lim t → 0 ⁡ 5 t 2 t t 2 + t 4 t 2 + t 2 =

lim t → 0 ⁡ 5 t 3 t 2 + t 4 2 t 2 =

Colocando t 2 em evidência:

lim t → 0 ⁡ 5 t 3 t 2 1 + t 2 2 t 2

Passo 8

Agora temos que tomar cuidado ao tirar o t 2 da raiz. Vamos ter que separar o limite em 2 limites: um com t → 0 - e outro com t → 0 + .

Vamos começar pelo limite com t → 0 - :

lim t → 0 - ⁡ 5 t 3 t 2 1 + t 2 2 . - t =

lim t → 0 - ⁡ 5 t 3 - t 3 1 + t 2 2

Ótimo, podemos cortar o t 3 no numerador e no denominador:

lim t → 0 - ⁡ 5 - 1 + t 2 2 = - 5 2

E aí está! Esse limite não dá 0 , então já podemos dizer que a função não é diferenciável ;)

Passo 9

Se você estiver com aquele tempo sobrando na prova, ou se você não acreditar em mim, ainda dá pra calcular o limite com t → 0 + e verificar que não dá zero!

Mas você também já deve suspeitar que esse limite vai ser que nem o outro, só com o sinal trocado:

lim t → 0 + ⁡ 5 t 3 t 2 1 + t 2 2 . t = lim t → 0 + ⁡ 5 t 3 t 2 1 + t 2 2 . t

lim t → 0 + ⁡ 5 t 3 t 3 1 + t 2 2 = 5 2

Confirmado! f não é diferenciável em 0 ,   0 .

Resposta

a) A função é contínua

b) ∇ f 0,0 = 0,0

c) Como o limite não dá 0 , a função não é diferenciável

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