Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade – Cálculo do Erro

Cálculo 2 USP, PSUB 2012, questão 1

Seja a função

f x , y = x 5   3 s e n x 4 + y 4 3 x 2 + y 2 ,     s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,     s e   x , y = ( 0,0 )

(a) Mostre que f é contínua em ( 0,0 ) .

(b) Calcule ∂ f ∂ x ( 0,0 ) e ∂ f ∂ y ( 0,0 ) .

(c) A função f é diferenciável em ( 0,0 ) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

(a)

Pra f ser contínua em ( 0,0 ) , ela deve tender ao valor que ela assume em ( 0,0 ) , certo?

E esse valor é 0 ! Portanto, precisamos provar que:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = f 0,0 = 0

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Passo 2

É nessa hora que você olha a função f e bate aquele desespero né? Realmente é uma função bem chata.

Mas repare que temos um seno no numerador: é um indício que poderíamos usar o Teorema do Sanduíche. Nesse caso, inclusive, vamos utilizar o limite fundamental do seno, aquele:

lim X → 0 ⁡ s e n X X = 1

Mas primeiro vamos ter que dar uma boa manipulada na f . Como temos s e n x 4 + y 4 3 , podemos multiplicar em cima e em baixo por x 4 + y 4 3 ; assim vai aparecer o limite fundamental do seno :)

x 5   3 s e n x 4 + y 4 3 x 2 + y 2 = x 5   3 s e n x 4 + y 4 3 x 2 + y 2 x 4 + y 4 3 x 4 + y 4 3

Ajeitando um pouco, isso dá:

s e n x 4 + y 4 3 x 4 + y 4 3 x 5   3 x 4 + y 4 3 x 2 + y 2  

E, pelo limite fundamental do seno:

lim x , y → 0,0 ⁡ s e n x 4 + y 4 3 x 4 + y 4 3 = 1

Passo 3

Beleza, achamos o nosso limite do seno, então vamos deixar ele de lado por enquanto e nos concentrar na fração da direita, ok?

Bom, agora é respirar fundo e partir pras contas e manipulações algébricas, porque essa fração da direita ainda tá bem estranha!

Vamos começar botando numa raiz cúbica só nela, que tal? Já que temos duas no numerador. Desse jeito:

x 5   3 x 4 + y 4 3 x 2 + y 2 = x 5 x 4 + y 4 x 2 + y 2 3 3

Dando mais uma ajeitada:

x 5 x 2 + y 2 x 4 + y 4 ( x 2 + y 2 ) ² 3 = x ³ x ² x 2 + y 2 x 4 + y 4 ( x 2 + y 2 ) ² 3 = x . x ² x 2 + y 2 x 4 + y 4 ( x 2 + y 2 ) ² 3

E aí? Isso adiantou alguma coisa? Na verdade, isso é ótimo!

Passo 4

Se você não ficou convencido, o que eu entendo, dá uma olhada:

  • Do lado de fora da raiz cúbica, temos x :
  • lim x , y → 0 ⁡ x = 0

  • Dentro da raiz cúbica, temos primeiro x ² x 2 + y 2 . E essa expressão é limitada!
  • 0 ≤ x 2 ≤ x 2 + y ²

    Dividindo tudo por x 2 + y ² :

    0 ≤ x 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 1

  • O outro termo que temos é x 4 + y 4 ( x 2 + y 2 ) ² , que também é limitado!

x 4 + y 4 ( x 2 + y 2 ) ² = x 4 + y 4 x 4 + y 4 + 2 x ² y ²

Podemos novamente montar uma inequação:

0 ≤ x 4 + y 4 ≤ x 4 + y 4 + 2 x ² y ²

E, divindo tudo por x 4 + y 4 + 2 x ² y ² :

0 ≤ x 4 + y 4 x 4 + y 4 + 2 x 2 y 2 ≤ x 4 + y 4 + 2 x 2 y 2 x 4 + y 4 + 2 x 2 y 2 = 1

Passo 5

Portanto, quando fazemos

lim x , y → 0,0 ⁡ x 5   3 x 4 + y 4 3 x 2 + y 2 = lim x , y → 0,0 ⁡ x . x ² x 2 + y 2 x 4 + y 4 ( x 2 + y 2 ) ² 3

é como se tivéssemos:

lim x , y → 0,0 ⁡ 0 . l i m i t a d a . l i m i t a d a 3 = 0

Ou seja (pelo teorema do anulamento):

lim x , y → 0,0 ⁡ x 5   3 x 4 + y 4 3 x 2 + y 2 = 0

Show! Estamos quase acabando!

Passo 6

Vamos recapitular o que fizemos pra poder concluir:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = lim x , y → 0,0 ⁡ x 5   3 s e n x 4 + y 4 3 x 2 + y 2

= lim x , y → 0,0 ⁡ s e n x 4 + y 4 3 x 4 + y 4 3 x 5   3 x 4 + y 4 3 x 2 + y 2 = 1.0 = 0 = f ( 0,0 )

Logo, f é contínua em ( 0,0 ) .

Ufa! Demorou, mas conseguimos!

Passo 7

(b)

Vamos calcular as derivadas parciais em ( 0,0 ) ? Vamos começar com ∂ f ∂ x ( 0,0 ) , fazendo esse limite:

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0

O que na nossa função estranha vai dar:

l i m x → 0 x 5   3 s e n x 4 + 0 3 x 2 + 0 - 0 x = l i m x → 0 x 5   3 s e n x 4 3 x ³

Passo 8

Uma boa agora é usar o mesmo macete da letra (a), tentando cavar um limite fundamental do seno:

l i m x → 0 x 5   3 s e n x 4 3 x ³ = l i m x → 0 x 5   3 s e n x 4 3 x 3 . x 4 3 x 4 3

Vamos ajeitar um pouco:

l i m x → 0 s e n x 4 3 x 4 3 x 5 . x 4   3 x ³

Note que:

x 5 . x 4 3 x ³ = x 9 3 x 3 = x 3 x 3 = 1

Show! Então vamos ter:

l i m x → 0 s e n x 4 3 x 4 3 . 1 = 1.1 = 1

Logo:

∂ f ∂ x 0,0 = 1

Passo 9

Firmeza, agora vamos pra derivada parcial em relação a y :

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0

O que vai dar:

l i m y → 0 0 5   3 s e n 0 4 + y 4 3 0 2 + y ² - 0 y = 0 y = 0

Portanto

∂ f ∂ y 0,0 = 0

Passo 10

(c)

Achamos as derivadas parciais em ( 0,0 ) mas infelizmente isso não garante a diferenciabilidade da função nesse ponto. Para isso vamos ter que verificar a relação bizarra abaixo:

lim h , k → 0 ⁡ f 0 + h , 0 + k - f 0,0 - ∂ f ∂ x 0,0 h - ∂ f ∂ y 0,0 k h , k = 0

De uma certa forma, se esse limitão tender a 0 , ele nos garante que a função vai ser diferenciável em todas as direções, e não só nas direções dos eixos x e y . Enfim, vamos pôr a mão na massa! O limite vai ficar:

lim h , k → 0 ⁡ h 5   3 s e n h 4 + k 4 3 h 2 + k 2 - 0 - 1 . h - 0 . k h 2 + k 2

Passo 11

A coisa tá com cara feia, mas pode ficar calmo!

Vamos primeiro assumir que o limite não dá 0 . Lembra que em funções de várias variáveis podemos chegar em um limite por infinitos caminhos? Então, basta verificar que um caminho não dá certo pra provar que o limite está errado!

Vamos escolher um caminho que facilite nossas contas, como h = k . Assim vamos ter:

lim h → 0 ⁡ h 5   3 s e n 2 h 4 3 2 h 2 - h 2 h ² = l i m h → 0 h 5   3 s e n 2 h 4 3 - h ( 2 h 2 ) 2 h 2 2 h 2

Passo 12

Note que o limite passou a ser com uma só variável. Bem, agora vamos, como sempre manipular a expressão pra tentar cavar um limite fundamental do seno, o que vai dar

l i m h → 0 h 5   3 s e n 2 h 4 3 2 h 2 2 h 2 2 h 4 3 2 h 4 3 - h 2 h 2 2 h 2 2 h 2

O que dá:

l i m h → 0 h 5   3 2 h 4 3 2 h 2 2 h 2 s e n 2 h 4 3 2 h 4 3 - h 2 h

Passo 13

Vamos especificar ainda mais o caminho, fazendo h > 0 :

l i m h → 0 2 h 9 3 2 h 2 2 h s e n 2 h 4 3 2 h 4 3 - h 2 . h

l i m h → 0 2 3 h ³ 2 2 h ³ s e n 2 h 4 3 2 h 4 3 - 1 2

Assim, com o limite fundamental do seno, obtemos:

l i m h → 0 2 3 2 2 . 1 - 1 2 = 2 3 - 2 2 2 ≠ 0

Por esse caminho o limite não dá 0 e isso já é o suficiente para afirmarmos que o limite geral é diferente de 0 :)

Depois de tanta conta, é com prazer que eu afirmo que a função f não é diferenciável em ( 0,0 ) .

Resposta

a) Bem, como tem que demonstrar não tem como eu botar a resposta aqui de maneira concisa haha

b) ∂ f ∂ x 0,0 = 1 e ∂ f ∂ y 0,0 = 0

c) Não.

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