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Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade – Cálculo do Erro

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Enunciado

Considere a função f x , y = x y

  1. Calcule f x e f y
  2. f é diferenciável na origem? Justifique.

Passo 1

  1. Fazendo as derivadas parciais, temos:
  2. f x = 1 2 y x

    f y = 1 2 x y

    Ambas estão definidas para x ≠ 0 e y ≠ 0 respectivamente.

    Passo 2

    Para os pontos onde elas não estão definidas, devemos tentar calcula-las pela definição. Vamos começar com a derivada parcial em relação a x . Dividiremos em dois casos:

    Caso 1:

    x = 0 ,   y ≠ 0

    Pela definição:

    ∂ f ∂ x 0 , y 0 = lim x → 0 ⁡ f x , y 0 - f 0 , y 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ x y 0 - 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ x y 0 x = lim x → 0 ⁡ y 0 x

    Esse limite não existe , logo a derivada parcial f x não existe para x = 0 ,   y ≠ 0

    Caso 2:

    x = y = 0

    Pela definição:

    ∂ f ∂ x 0 , 0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0 , 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ 0 - 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ 0 x = 0

    Logo, no ponto 0,0 a derivada parcial f x existe e é igual a zero.

    Passo 3

    Fazendo o mesmo para a derivada parcial em relação a y vamos ter:

    Caso 1:

    y = 0 , x ≠ 0

    Pela definição:

    ∂ f ∂ y x 0 , 0 = lim y → 0 ⁡ f x 0 , y - f x 0 , 0 y - 0 = lim y → 0 ⁡ x 0 y - 0 y - 0 = lim y → 0 ⁡ x 0 y y = lim y → 0 ⁡ x 0 y

    Esse limite não existe , logo a derivada parcial f y não existe para y = 0 ,   x ≠ 0

    Caso 2:

    x = y = 0

    Pela definição:

    ∂ f ∂ y 0 , 0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0 , 0 y - 0 = lim y → 0 ⁡ 0 - 0 y - 0 = lim y → 0 ⁡ 0 y = 0

    Logo, no ponto 0,0 a derivada parcial f y existe e é igual a zero.

    Ou seja, temos:

    Em relação a   x :

    f x = 1 2 y x , se x ≠ 0

    f x = 0 , se x = y = 0

    f x   ∄ , se x = 0 , y ≠ 0

    Em relação a y :

    f y = 1 2 x y , se y ≠ 0

    y x = 0 , se y = x = 0

    f y   ∄ , se y = 0 , x ≠ 0

    Passo 4

  3. Para avaliar a diferenciabilidade, será necessário calcular:

lim h , k → 0,0 ⁡ f 0 + h , 0 + k - f 0,0 - ∂ f ∂ x 0,0 h - ∂ f ∂ y 0,0 k h 2 + k 2

Vai ficar:

lim h , k → 0,0 ⁡ h k - 0 - 0 - 0 h 2 + k 2 = lim h , k → 0,0 ⁡ h k h 2 + k 2

Usando coordenadas polares:

x = r c o s θ

y = r s e n θ

Com r → 0

Substituindo:

lim r → 0 ⁡ h k h 2 + k 2 = lim r → 0 ⁡ r 2 s e n θ c o s θ r 2 = lim r → 0 ⁡ s e n θ c o s θ = s e n θ c o s θ

Como o limite depende de θ , a função não é diferenciável na origem.

Resposta

a) Em relação a   x :

f x = 1 2 y x , se x ≠ 0

f x = 0 , se x = y = 0

f x   ∄ , se x = 0 , y ≠ 0

Em relação a y :

f y = 1 2 x y , se y ≠ 0

y x = 0 , se y = x = 0

f y   ∄ , se y = 0 , x ≠ 0

b) A função não é diferenciável na origem

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