Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade – Cálculo do Erro

Seja

f x , y = x y 2 x 2 + 3 y 2     s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0       s e   x , y = ( 0,0 )

  1. Determine as funções ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y , explicitando seus domínios.
  2. ∂ f ∂ x é contínua em ( 0,0 ) ? Justifique
  3. f é diferenciável em ( 0,0 ) ? Justifique
  4. f é diferenciável em ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) ? Justifique

Passo 1

a )

Opa, temos uma função definida por partes. Para as derivadas parciais quando ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) , podemos fazer normalmente, usando a regra do quociente, já que nossa função é simplesmente o quociente de duas funções polinomiais.

Assim, ficamos com:

∂ f ∂ x = y 2 x 2 + 3 y 2 - 2 x x y 2 x 2 + 3 y 2 2 = 3 y 4 - x 2 y 2 x 2 + 3 y 2 2

∂ f ∂ y = 2 x y x 2 + 3 y 2 - 6 y x y 2 x 2 + 3 y 2 2 = 2 x 3 y x 2 + 3 y 2 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, quando temos x , y = ( 0,0 ) a gente não pode simplesmente derivar o zero, né?!

Então, aqui, vamos usar a definição de derivadas parciais.

Ficamos, então, com:

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0 = l i m x → 0 0 x 2 - 0 - 0 x = l i m x → 0   0 = 0

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0 = l i m y → 0 0 0 - 3 y 2 - 0 y = l i m y → 0   0 = 0

Passo 3

Agora, pra finalizar a letra a , só falta saber o domínio dessas derivadas parciais. Vamos lá:

∂ f ∂ x = 3 y 4 - x 2 y 2 x 2 + 3 y 2 2     s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0       s e   x , y = ( 0,0 )

E

∂ f ∂ y = 2 x 3 y x 2 + 3 y 2 2     s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0       s e   x , y = ( 0,0 )

Assim, tanto ∂ f ∂ x como ∂ f ∂ y estão definidos em todo o R 2 .

Passo 4

b )

Para saber se a função derivada parcial em relação a x é contínua em ( 0,0 ) , precisamos que

lim ( x , y ) → ( 0,0 ) ⁡ ∂ f ∂ x = 0

Como para qualquer função normal.

Vamos tentar calcular esse limite então e vê se dá zero.

lim ( x , y ) → ( 0,0 ) ⁡ ∂ f ∂ x = lim ( x , y ) → ( 0,0 ) ⁡ 3 y 4 - x 2 y 2 x 2 + 3 y 2 2

Se a gente observar bem, vemos que o grau do numerador é 4 , que é igual ao grau do denominador. Isso é um bom indicio de que esse limite não existe. Vamos ver.

Começando pelo caminho x = 0 :

lim x , y → 0,0 ⁡ 3 y 4 - 0 2 y 2 0 2 + 3 y 2 2 = lim x , y → 0,0 ⁡ 3 y 4 3 y 2 2 = 3 9 = 1 3

Agora vamos tentar o caminho x = y :

lim x , y → 0,0 ⁡ 3 y 4 - y 2 y 2 y 2 + 3 y 2 2 = lim x , y → 0,0 ⁡ 2 y 4 4 y 2 2 = 2 16 = 1 8

Vishhh, então esse limite não existe mesmo.

E se ele não existe ele não tem como ser igual a zero. E se não é igual a zero, que é a definição de ∂ f ∂ x quando x , y = ( 0,0 ) , então a função não é contínua em ( 0,0 ) .

Passo 5

c )

Como as derivadas parciais de f existem em ( 0,0 ) , para saber se f é diferenciável ou não, temos que analisar se:

lim h , k → 0,0 ⁡ f 0 + h , 0 + k - f 0,0 - ∂ f ∂ x 0,0 h - ∂ f ∂ y 0,0 k h 2 + k 2 = 0

As derivadas parciais em ( 0,0 ) nós já temos da letra a . Substituindo tudo então, ficamos com:

lim h , k → 0,0 ⁡ h k 2 h 2 + 3 k 2 - 0 - 0 . h - 0 . k h 2 + k 2 = lim h , k → 0,0 ⁡ h k 2 h 2 + 3 k 2 h 2 + k 2 = lim h , k → 0,0 ⁡ h k 2 h 2 + 3 k 2 ∙ 1 h 2 + k 2

Vamos tentar calcular esse limite pelo caminho h = k :

lim h , k → 0,0 ⁡ k k 2 k 2 + 3 k 2 ∙ 1 k 2 + k 2 = lim h , k → 0,0 ⁡ k 3 4 k 2 ∙ 1 2 k 2 = lim h , k → 0,0 ⁡ k 4 ∙ 1 2 . | k |

Ai, se k > 0 temos que esse limite vale 1 4 2 e se k < 0 temos que esse limite vale - 1 4 2 . Logo, ele não existe.

Se esse limite não existe, não é igual a zero (dã), então a função f não é diferenciável.

Passo 6

d )

Para ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) , temos que

f x , y = x y 2 x 2 + 3 y 2    

Que nada mais é que o quociente de duas funções polinomiais, que são contínuas em seu domínio. Logo, nesse caso, f também é contínua para ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) .

Resposta

a )

∂ f ∂ x = 3 y 4 - x 2 y 2 x 2 + 3 y 2 2     s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0       s e   x , y = ( 0,0 )

E

∂ f ∂ y = 2 x 3 y x 2 + 3 y 2 2     s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0       s e   x , y = ( 0,0 )

b) ∂ f ∂ x não é contínua em ( 0,0 ) .

c) f não é diferenciável em ( 0,0 )

d) f é difrenciável para ( x , y ) ≠ ( 0,0 )

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