Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade – Cálculo do Erro

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Enunciado

Mostre que no ponto ( 0,0 ) a função

f x , y = x 3 x 2 + y 2 ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 x , y = ( 0,0 )

É contínua, tem derivadas parciais, mas não é diferenciável.

Passo 1

Para essa função ser contínua em ( 0,0 ) , o limite dela quando ( x , y ) tender a ( 0 , 0 ) deve ser 0, que é o valor que ela realmente tem para esse ponto (dado na parte de baixo da chave).

Então, vamos calcular esse limite.

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 x 2 + y 2

Substituindo no ponto ( 0,0 )

x 3 x 2 + y 2 = 0 3 0 2 + 0 2 = 0 0

Chegamos a indeterminação 0 0 .

Passo 2

Para sair dessa indeterminação, repare que podemos fazer

x 3 x 2 + y 2 = x ∙ x 2 x 2 + y 2

E que isso tem a maior cara de teorema do sanduíche.

Vamos tentar usá-lo então.

Primeiramente, vamos limitar a função x 2 x 2 + y 2 .

0 ≤ x 2 < x 2 + y ²

Dividindo tudo por x 2 + y ²

0 ≤ x 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 1

Agora, só falta multiplicar tudo por x .

0 ≤ x 3 x 2 + y 2 ≤ x

Aplicando o limite dos dois lados, temos

lim x , y → 0,0 ⁡ 0 = 0

lim x , y → 0,0 ⁡ x = 0

Assim, pelo teorema do sanduíche,

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 x 2 + y 2 = 0 = f ( 0,0 )

Logo, a função é contínua em ( 0,0 ) .

Passo 3

Para provar que ela tem derivadas parciais, vamos tentar calculá-las.

Como temos uma função definida por intervalos, precisamos usar a definição de derivadas parciais para calcular f x ( 0,0 ) e f y ( 0,0 ) .

Começando por f x 0,0 .

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0 = l i m x → 0 x 3 x 2 - 0 x = l i m x → 0   1 = 1

Agora f y ( 0,0 ) :

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0 = l i m y → 0 0 - 0 y = l i m y → 0   0 = 0

Ou seja, f x ( 0,0 ) existe e é igual a 1, e f y ( 0,0 ) existe e é igual a 0.

Passo 4

Beleza, até agora já sabemos que a função é contínua e tem derivadas parciais. No entanto, isso não nos prova nada sobre a diferenciabilidade dela. Assim, para saber se é diferenciável ou não, temos que calcular aquele limitão e ver se dá zero ou não.

Boring, i know. Mas vamos lá né...

lim h , k → 0,0 ⁡ f 0 + h , 0 + k - f 0 , 0 - ∂ f ∂ x 0 , 0 h - ∂ f ∂ y 0,0 k h 2 + k 2

lim h , k → 0,0 ⁡ h 3 h 2 + k 2 - 0 - 1 . h - 0 . k h 2 + k 2 =

lim h , k → 0,0 ⁡ h 3 h 2 + k 2 - h h 2 + k 2 = lim h , k → 0,0 ⁡ - h k 2 h 2 + k 2 h 2 + k 2

lim h , k → 0,0 ⁡ - h k ² h 2 + k 2 ∙ 1 h 2 + k 2 = lim h , k → 0,0 ⁡ - h k ² h 2 + k 2 3

Ok, agora para calcular esse limite, vamos tentar o método dos caminhos.

Passo 5

Primeiro pelo caminho ( t , 0 )

lim t , 0 → 0,0 ⁡ - t . 0 ² t 2 + 0 2 3 = 0

Agora pelo caminho ( t , t )

lim t , t → 0,0 ⁡ - t . t ² t 2 + t 2 3 = - t 3 2 t 2 3 = - t 3 8 t 6 = - t 3 2 t 3 2 = - 1 2 2

Ou seja, esse limite, que era para dar zero, sequer existe. Assim, a função não é diferenciável em ( 0,0 ) .

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