Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade – Cálculo do Erro

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Enunciado

Considere a função f : R 2 → R definida por

f x , y = y 3 x - 1 2 + y 2 s e x , y ≠ 1,0 L s e x , y = 1,0

a) Determine L ∈ R tal que f é contínua em 1,0 .

b) Sendo L o valor encontrado no item a , determine as derivadas parciais no ponto 1,0 e verifique se f é diferenciável neste ponto.

Passo 1

a) Vamos lá, o que é preciso para que uma função seja contínua num ponto? O limite quando ela tende a essa ponto deve ser o mesmo que o valor que ela assume nele! Assim,

l i m x , y → 1,0 y 3 x - 1 2 + y 2 = L ⁡

Ou seja, de existir esse L , que é o valor que ela deve assumir em 1,0 , então a função será contínua ;)

Passo 2

Se você já resolveu alguns problemas de limites, deve ter percebido que esse modelo de fração é meio manjado... Quando temos a mesma variável em cima e embaixo, com uma soma no denominador, podemos mandar o seguinte mecanismo:

l i m x , y → 1,0 y 3 x - 1 2 + y 2 = l i m x , y → 1,0 y . y 2 x - 1 2 + y 2 ⁡

O que acabamos de fazer foi deixar o mesmo grau para o y no numerador e no denominador. Como ele tem grau par, se analisarmos a fração, vemos, pelo Teorema do Confronto, que:

0 ≤ y 2 ≤ x - 1 2 + y 2

Show até agora? Qualquer numero ao quadrado, y 2 é maior que 0 e menor que ele mesmo somado a outro ao quadrado, no caso, x - 1 2 !

E então, para chegarmos na fração do problema, basta dividir por x - 1 2 + y 2 :

0 ≤ y 2 x - 1 2 + y 2 ≤ x - 1 2 + y 2 x - 1 2 + y 2

Que fica:

0 ≤ y 2 x - 1 2 + y 2 ≤ 1

Pegou a ideia da volta que demos? Acabamos de provar que essa fração é limitada! Mas... para que isso nos adianta?

Passo 3

Lembre que o limite ficou

l i m x , y → 1,0 y . y 2 x - 1 2 + y 2 ⁡

Certo? E acabamos de provar que y 2 x - 1 2 + y 2 é limitada, show? Então, o limite dá 0 , pois:

l i m x , y → 1,0 y ⏞ v a i   p r a   0   . y 2 x - 1 2 + y 2 ⏞ l i m i t a d a = 0

Assim, para a função ser contínua, L deve valer 0 !

Passo 4

b) Para encontrarmos as derivadas parciais no ponto 1,0 , basta fazer o limite:

∂ f ∂ x 1,0 = lim x → 1 ⁡ f x , 0 - f 1,0 x - 1

Colocando a função nele, e lembrando que f 1 , = L = 0 , teremos:

∂ f ∂ x 1,0 = lim x → 1 ⁡ 0 3 x - 1 2 + 0 2 - 0 x - 1 = lim x → 1 ⁡ 0 x - 1 3 = 0

Como o numerador se zera antes mesmo de fazer o limite, então o limite vale 0 , e aí está o valor da derivada :D

Passo 5

Vamos, agora, encontrar a derivada em relação a y ? Seu limite é:

∂ f ∂ y 1,0 = lim y → 0 ⁡ f 1 , y - f 1,0 y - 0

Colocando o valor de f 1,0 = 0 e de f 1 , y ,

∂ f ∂ y 1,0 = lim y → 0 ⁡ y 3 1 - 1 2 + y 2 - 0 y

Desenvolvendo,

∂ f ∂ y 1,0 = lim y → 0 ⁡ y 3 y 2 y = lim y → 0 ⁡ y y = 1

E aí está, a derivada vale 1 !

Passo 6

Finalmente, vamos apenas verificar se a função é diferenciável! Para isso, usamos o limite:

lim h , k → 0,0 ⁡ f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 - ∂ f ∂ x x 0 , y 0 h - ∂ f ∂ y x 0 , y 0 k h 2 + k 2

Colocando o ponto 1,0 ,

lim h , k → 0,0 ⁡ f 1 + h , 0 + k - f 1,0 - ∂ f ∂ x 1,0 h - ∂ f ∂ y 1,0 k h 2 + k 2

colocando os valores das derivadas, de f 1,0 e de f 1 + h , 0 + k ,

lim h , k → 0,0 ⁡ k 3 1 + h - 1 2 + k 2 - 0 - 0 . h - 1 . k h 2 + k 2

Desenvolvendo...

lim h , k → 0,0 ⁡ k 3 h 2 + k 2 - k h 2 + k 2

Nossa, feio demais isso aí né?

Passo 7

Vamos com calma agora... não parece que dá pra melhorar muito esse limite. Que tal testarmos alguns caminhos como sempre fazemos para resolver limites de duas variáveis? Se algum deles não der 0 , então já é suficiente para provar que a função não é diferenciável!

Vamos testar pela curva t , t ? Ela é uma boa escolha pois na fração que temos no numerador, o grau do parâmetro ficará maior no numerador, sem perigo de indeterminações ;)

lim t → 0 ⁡ t 3 t 2 + t 2 - t t 2 + t 2

Desenvolvendo:

lim t → 0 ⁡ t 2 - t 2 t 2

Fazendo a soma de cima e tirando o t da raiz em baixo,

lim t → 0 ⁡ - t 2 t 2

Cortando o t ,

lim t → 0 ⁡ - 1 2 2 ≠ 0

Como o limite que encontramos não vale 0 , então a função não é diferenciável!! Viu só? Não precisamos ficar insistindo naquele limite bizarro :D Quando ficar dificil ou fio demais, desconfie! Teste sempre alguns caminhos que vale a pena ;)

Resposta

a) L = 0

b) f x = 0 e f y = 1 , a função não é diferenciável

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