Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade – Cálculo do Erro

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Enunciado

Mostre que a função

f x , y = x 4 x 2 + y 2 x , y ≠ 0,0 0 x , y = 0,0

É diferenciável.

Passo 1

Para a função ser diferenciável, ela precisa ter derivadas parciais e o limite

lim h , k → 0,0 ⁡ f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 - ∂ f ∂ x x 0 , y 0 h - ∂ f ∂ y x 0 , y 0 k h 2 + k 2

Deve ser 0 .

Vamos começar vendo que ela é diferenciável em qualquer ponto diferente de 0,0 , depois olhamos o 0,0 isso porque as derivadas parciais devem ser feitas pela definição sacou?

Passo 2

As derivadas parciais vão ser

∂ f ∂ x = 4 x 3 x 2 + y 2 - 2 x x 4 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ x = 4 x 5 + 4 x 3 y 2 - 2 x 5 x 2 + y 2 2

A derivada em relação a y vai ser

∂ f ∂ y = 0 x 2 + y 2 - 2 y x 4 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = - 2 x 4 y x 2 + y 2 2

Aqui não vamos precisar fazer a função erro, porque garantimos que as duas derivadas parciais vão ser contínuas em qualquer ponto fora 0,0 , no 0,0 não podemos afirmar nada, mas podemos dizer que como a função tem as derivadas parciais contínuas então ela é derivável fora de 0,0

Passo 3

Vamos agora as derivadas parciais em 0,0 , lembra de definição? Feiosinha mas é o que temos

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ x 4 x 2 + 0 2 - 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ x 2 - 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ x = 0

Já temos a primeira derivada, calma que ainda não acabou, respira fundo e vamos continuar, agora para a derivada em y

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0 = lim y → 0 ⁡ 0 4 0 2 + y 2 - 0 y - 0 = lim y → 0 ⁡ 0 - 0 y - 0 = 0

Passo 4

Vamos agora para o erro, vulgo aquele limite loucão que fazemos

lim h , k → 0,0 ⁡ f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 - ∂ f ∂ x x 0 , y 0 h - ∂ f ∂ y x 0 , y 0 k h 2 + k 2

lim h , k → 0,0 ⁡ f h , k - f 0,0 - ∂ f ∂ x 0,0 h - ∂ f ∂ y 0,0 k h 2 + k 2

lim h , k → 0,0 ⁡ h 4 h 2 + k 2 - 0 - 0 h - 0 k h 2 + k 2

lim h , k → 0,0 ⁡ h 4 h 2 + k 2 3 2

Temos um limite muito louco para resolver, vamos resolver ele com calma no próximo passo.

Passo 5

lim h , k → 0,0 ⁡ h 4 h 2 + k 2 3 2

Repara que

h 2 ≤ h 2 + k 2

h 2 3 2 ≤ h 2 + k 2 3 2

h 3 ≤ h 2 + k 2 3 2

Invertendo vamos ter

1 h 3 ≥ 1 h 2 + k 2 3 2

h 4 h 3 ≥ h 4 h 2 + k 2 3 2

h ≥ h 4 h 2 + k 2 3 2

Passo 6

Excelente! Fazendo o limite dos 2 lados,

l i m h , k → 0,0 h ≥ l i m h , k → 0,0 h 4 h 2 + k 2 3 2

0 ≥ l i m h , k → 0,0 h 4 h 2 + k 2 3 2

Passo 7

Repara que:

h 4 ≥ 0

h 2 + k 2 ≥ 0   →     h 2 + k 2 3 2 ≥ 0

Ou seja,

h 4 h 2 + k 2 3 2 ≥ 0

Então também vamos ter

l i m h , k → 0,0 h 4 h 2 + k 2 3 2 ≥ 0

Passo 8

Juntando tudo:

0 ≥ l i m h , k → 0,0 h 4 h 2 + k 2 3 2 ≥ 0

Portanto

l i m h , k → 0,0 h 4 h 2 + k 2 3 2 = 0

Então temos as derivadas parciais, e o limite loucão dando 0 isso nos diz que a função é derivável em 0,0 .

Passo 9

Vimos que fora de 0,0 ela é derivável, e em 0,0 ela é derivável, então ela é derivável em qualquer ponto.

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