Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade – Cálculo do Erro

UFPE, Calculo 2, 1º EE - 2014.2, Questão 2

Considere a função f   : R 2 R dada por

f x , y = x ² y ² x 2 + y ² ,   s e   x , y 0,0 0 ,     s e   x , y = 0,0  

  1. Calcule f x e f y
  2. f é diferenciável? Justifique.

Passo 1

a )

Bem, temos uma função definida por intervalos, então logo pensamos que precisamos usar a definição para calcular as derivadas parciais, né? Mas repara que nesse caso, ele não pediu para a gente calcular em um ponto específico, então podemos calcular as derivadas parciais em ( x , y ) ( 0,0 ) e x , y = ( 0,0 ) .

Começando por ( x , y ) ( 0,0 ) :

Para ( x , y ) ( 0,0 ) , podemos usar normalmente as regras de derivação que já estamos acostumados. Assim, pela regra do quociente, temos:

f x = 2 x y 2 x 2 + y 2 - x 2 y 2 2 x x 2 + y 2 2 = 2 x y 4 x 2 + y 2 2

E

f y = 2 x ² y x 2 + y 2 - x 2 y 2 2 y x 2 + y 2 2 = 2 x 4 y x 2 + y 2 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, para x , y = ( 0,0 ) , devemos usar a definição de derivada parcial porque não tem cabimento simplesmente derivar o zero, né!?

Vamos lá então

f x 0 , 0 = lim x x 0 f x , 0 - f 0 , 0 x - 0 = lim x x 0 x ² 0 ² x 2 + 0 ² - 0 x = l i m x 0 0 = 0

E

f y 0,0 = lim y 0 f 0 , y - f 0,0 y - 0 = lim y 0 0 ² y ² 0 2 + y ² - 0 y = l i m y 0 0 = 0

Passo 3

b )

Para f ser diferenciável em todo o R 2 , ela tem que ser diferenciável para ( x , y ) ( 0,0 ) e para x , y = ( 0,0 ) .

Para ( x , y ) ( 0,0 ) a função é diferenciável pois é composta por funções diferenciáveis: Polinômios.

Já para x , y = ( 0,0 ) , precisamos ver se aquele limitão é igual a zero. Vamos lá.

lim h , k 0,0 f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 - f x x 0 , y 0 h - f y x 0 , y 0 k h 2 + k 2 = 0

lim h , k 0,0 f 0 + h , 0 + k - f 0,0 - f x 0,0 h - f y 0,0 k h 2 + k 2 = 0

lim h , k 0,0 h ² k ² h 2 + k ² - 0 - 0 . h - 0 . k h 2 + k 2 =

lim h , k 0,0 h ² k ² h 2 + k 2 3 2

Passo 4

Ok, agora a gente precisa resolver esse limite chato aí.

Lembra de coordenadas polares? Então, elas vão nos ajudar nessa missão.

Isso porque é fácil lembrar que quando tempos duas coisas ao quadrado sendo somadas, podemos substituir por r ² , pois se fizermos

h = r cos t k = r sen t

Temos que

h 2 + k 2 = r 2

Além disso, quando h , k ( 0,0 ) ,

r 0 2 + 0 2 = 0

Passo 5

Fazendo essa mudança no nosso limite, ficamos com:

lim r 0 r 2 cos 2 t . r 2 sen ² t r ² 3 2 = lim r 0 r 4 cos 2 t . sen ² t r 3 = lim r 0 r   cos 2 t . sen ² t = 0

Opa, então o limitão é zero. Isso significa que a função é diferenciável em ( 0,0 ) .

Como ela também é diferenciável para ( x , y ) ( 0,0 ) , temos então que a função é diferençável em todo o R 2 .

Resposta

  1. f x x , y = 2 x y 4 x 2 + y 2 2 ( x , y ) ( 0,0 ) 0 x , y = ( 0,0 )
  2. f y x , y = 2 x 4 y x 2 + y 2 2 ( x , y ) ( 0,0 ) 0 x , y = ( 0,0 )

  3. A função é diferenciável.

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