Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade – Cálculo do Erro

Cálculo 2 USP, P2 2010 A, questão 2

Seja f x , y = x y 1 3 .

a) Calcule as derivadas parciais de f nos pontos x , y tais que x y 0 .

b) Calcule as derivadas parciais de f em 0,0 .

c) Existem f x 0 , b e f y a , 0 quando a e b são não-nulos?

d) Determine os pontos em que f é diferenciável. Justifique.

Passo 1

a)

Bom, esse passo é só derivar normalmente a função! Se temos:

f x , y = x y 1 3

Então, pela regra da cadeia:

f x = 1 3 x y - 2 3 . y

f y = 1 3 x y - 2 3 . x

Pronto, só isso!

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Passo 2

b)

Agora, vejamos as derivadas em 0,0 . Como nesse ponto as derivadas calculadas no item a possuem indeterminação, vamos calculá-las pelo limite da derivada.

Para a derivada em relação a x , teremos:

f x 0,0 = lim x 0 f x , 0 - f 0,0 x - 0

Colocando a função   f , teremos:

f x 0,0 = lim x 0 x . 0 1 3 - 0.0 1 3 x = lim x 0 0 x = 0

Ou seja, a derivada em relação a x é 0 !

Passo 3

Agora, fazendo o mesmo para a derivada em relação a y , teremos:

f y 0,0 = lim y 0 f 0 , y - f 0,0 y - 0

Colocando a f x , y , fica:

f y 0,0 = lim y 0 0 . y 1 3 - 0,0 1 3 y = lim y 0 0 y = 0

E aí temos que a derivada em relação a y também vale 0 :D Pronto, só isso mesmo!

Passo 4

c)

Aqui é basicamente resolver de novo o passo anterior, mas trocando o 0 por a ou b dependendo do caso. Por exemplo, para a derivada em relação a x , teríamos:

f x 0 , b = lim x 0 f x , b - f 0 , b x - 0

Colocando a função   f , teremos:

f x 0 , b = lim x 0 x b 1 3 - 0 . b 1 3 x = b 1 3 x 2 3

Ou seja, se temos b > 0 o limite vai para infinito positivo, e para b < 0 , vamos para o infinito negativo! Assim, não existe derivada para qualquer ponto 0 , b .

Passo 5

Agora, fazendo o mesmo para a derivada em relação a y , teremos:

f y a , 0 = lim y 0 f a , y - f a , 0 y - 0

Colocando a função   f , teremos:

f y a , 0 = lim y 0 a y 1 3 - a . 0 1 3 y = a 1 3 y 2 3

Da mesma forma, se a > 0 o limite vai para infinito positivo, e para a < 0 , vamos para o infinito negativo! Assim, não existe derivada para qualquer ponto a , 0 .

Passo 6

d)

Calculamos as derivadas parciais de f e achamos

f x = 1 3 x y - 2 3 . y

f y = 1 3 x y - 2 3 . x

Para x y 0 , não tem nenhuma problema com as derivadas parciais: elas são contínuas, e portanto, f é diferenciável.

Passo 7

Agora temos que ver se as derivadas parciais são contínuas para x y = 0 .

Temos 3 possibilidades: ou x = 0 e y 0 , ou x 0 e y = 0 , ou x = y = 0 .

As 2 primeiras possibilidades são justamente as que vimos no item anterior, são os pontos 0 ,   b e a ,   0 . Concluímos que as derivadas parciais não existem nesses pontos, portanto neles a função não é diferenciável.

Passo 8

Agora só resta o ponto 0 ,   0 . As derivadas parciais existem nesse ponto, mas isso não garante a diferenciabilidade da função!

Para ver se a função é diferenciável na origem, precisamos resolver esse limite:

lim h , k 0,0 f 0 + h , 0 + k - f 0,0 - f x 0,0 h - f y 0,0 k h 2 + k 2

Como as derivadas parciais em 0 ,   0 valem 0 , então temos que esse limite gigante se resume a:

lim h , k 0,0 h k 1 3 - 0.0 1 3 - 0 h - 0 k h 2 + k 2 =

lim h , k 0,0 h k 1 3 h 2 + k 2

Passo 9

Para resolver agora esse limite de duas variáveis, escolhamos o caminho t , t , por exemplo:

lim t 0 t 2 1 3 t 2 + t 2 =

Como o grau de cima é menor que o de baixo, teremos:

lim t 0 t 2 3 2 . t =

lim t 0 1 2 . t 1 3

E, quando t 0 , temos o limite indo para + ! Dessa forma, vemos que o limite não pode existir, e, portanto, a função não pode ser diferenciável!

Passo 10

Disso tudo, concluímos que a função é diferenciável apenas nos pontos tais que x y 0 .

Resposta

a) f x = 1 3 x y - 2 3 . y e f y = 1 3 x y - 2 3 . x

b) f x 0,0 = f y 0,0 = 0

c) Não existem derivadas para pontos do tipo 0 , a ou b , 0

d) A função é diferenciável nos pontos tais que x y 0

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