Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade – Cálculo do Erro

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 3, Questão 20

Seja

f x , y = x 2 + y 2 sen 1 x 2 + y 2 ( x , y ) ( 0,0 ) 0 x , y = ( 0,0 )

  1. Calcule f x e f y
  2. Mostre que f é derivável em R 2
  3. Mostre que f x não é contínua.

Passo 1

a )

Bem, temos uma função definida por intervalos, então logo pensamos que precisamos usar a definição para calcular as derivadas parciais, né? Mas repara que nesse caso, ele não pediu para a gente calcular em um ponto específico, então podemos calcular as derivadas parciais em ( x , y ) ( 0,0 ) e x , y = ( 0,0 ) .

Começando por f x .

Para ( x , y ) ( 0,0 ) :

f x = 2 x . sen 1 x 2 + y 2 + x 2 + y 2 . cos 1 x 2 + y 2 . - x 2 + y 2 - 2 . 2 x

f x = 2 x sen 1 x 2 + y 2 - 2 x x 2 + y 2 cos 1 x 2 + y 2

Para x , y = ( 0,0 ) :

f x = 0

Assim:

f x x , y = 2 x sen 1 x 2 + y 2 - 2 x x 2 + y 2 cos 1 x 2 + y 2 ( x , y ) ( 0,0 ) 0 x , y = ( 0,0 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando f y .

Para ( x , y ) ( 0,0 ) :

f y = 2 y . sen 1 x 2 + y 2 + x 2 + y 2 . cos 1 x 2 + y 2 . - x 2 + y 2 - 2 . 2 y

f y = 2 y sen 1 x 2 + y 2 - 2 y x 2 + y 2 cos 1 x 2 + y 2

Para x , y = ( 0,0 ) :

f y = 0

Assim

f y x , y = 2 y sen 1 x 2 + y 2 - 2 y x 2 + y 2 cos 1 x 2 + y 2 ( x , y ) ( 0,0 ) 0 x , y = ( 0,0 )

Passo 3

b )  

Para f ser diferenciável em todo o R 2 , ela tem que ser diferenciável para ( x , y ) ( 0,0 ) e para x , y = ( 0,0 ) .

Para ( x , y ) ( 0,0 ) a função é diferenciável pois é composta por funções diferenciáveis: Polinômios e a função trigonométrica seno.

Já para x , y = ( 0,0 ) , precisamos ver se aquele limitão é igual a zero. Vamos lá.

lim h , k 0,0 f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 - f x x 0 , y 0 h - f y x 0 , y 0 k h 2 + k 2 = 0

lim h , k 0,0 f 0 + h , 0 + k - f 0,0 - f x 0,0 h - f y 0,0 k h 2 + k 2 = 0

lim h , k 0,0 h 2 + k 2 sen 1 h 2 + k 2 - 0 - 0 . h - 0 . k h 2 + k 2 =

lim h , k 0,0 h 2 + k 2 sen 1 h 2 + k 2

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos usar o teorema do anulamento.

Observe que temos uma função limitada

sen 1 h 2 + k 2

- 1 sen 1 h 2 + k 2 1

Multiplicada por uma função cujo limite é zero.

Assim, temos que

lim h , k 0,0 h 2 + k 2 sen 1 h 2 + k 2 = 0

Show! Como esse limite é igual a zero, então a função f é diferenciável

Passo 5

c )

Para verificar a continuidade da derivada parcial f x , fazemos a mesma coisa que fazemos para uma função f .

Assim, vamos calcular o limite de f x e vê se ele é igual ou não a f x 0,0 = 0 .

lim x , y 0,0 2 x sen 1 x 2 + y 2 - 2 x x 2 + y 2 cos 1 x 2 + y 2

Ok, essa função é mucho loka e provavelmente você não tem ideia de como vai calcular esse limite né?

Vamos tentar aquela técnica de caminhos e vê no que dá.

Primeiro pelo caminho x = y .

lim x 0 2 x sen 1 x 2 + x 2 - 2 x x 2 + x 2 cos 1 x 2 + x 2

lim x 0 2 x sen 1 2 x 2 - 2 x 2 x 2 cos 1 2 x 2

lim x 0 2 x sen 1 2 x 2 - 1 x cos 1 2 x 2 =

lim x 0 2 x sen 1 2 x 2 - lim x 0 1 x cos 1 2 x 2

Pelo teorema do anulamento, temos que esse primeiro limite aí é zero.

lim x 0 2 x sen 1 2 x 2 = 0

Para esse segundo limite, temos uma função limitada multiplicada por uma função que o limite oscila entre - e + dependendo se tendemos a zero pela esquerda ou pela direita. Assim, esse limite fica oscilando entre - e + .

Dessa forma,

  lim x , y 0,0 f x    

Como esse limite não existe, então, f x não pode ser contínua em ( 0,0 ) .

Resposta

f x x , y = 2 x sen 1 x 2 + y 2 - 2 x x 2 + y 2 cos 1 x 2 + y 2 ( x , y ) ( 0,0 ) 0 x , y = ( 0,0 )

f y x , y = 2 y sen 1 x 2 + y 2 - 2 y x 2 + y 2 cos 1 x 2 + y 2 ( x , y ) ( 0,0 ) 0 x , y = ( 0,0 )

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