Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade – Cálculo do Erro

USP, Cálculo 2, P-SUB - 2015, Questão 1

Seja f x , y = y 2 sen 2 x + 3 y 2 x 2 + 3 y 2 , s e   x , y 0 ,   0 L , s e   x , y = 0 ,   0

  1. Determine o valor de L para que f seja contínua em 0 ,   0 .
  2. Com o valor de L obtido no item a), calcule f x 0 ,   0 e f y 0 ,   0 .
  3. Decida se f é diferenciável em 0 ,   0 . Justifique!

Passo 1

a)

Para f ser contínua em 0 ,   0 devemos ter

lim x , y 0 ,   0 f x , y = lim x , y 0 ,   0 y 2 sen 2 x + 3 y 2 x 2 + 3 y 2 = L

Então vamos calcular esse limite!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Tentando substituir x , y = 0 ,   0 no limite, caímos numa indeterminação (claro, senão não teria exercício).

Repare que temos várias coisas ao quadrado e um seno ali no limite, o que é um indício que podemos aplicar o teorema do Sanduíche ou do Anulamento!

Vamos separar o seno:

lim x , y 0 ,   0 sen 2 x + 3 y = sen 0 = 0

Passo 3

O que sobrou na expressão foi

y 2 2 x 2 + 3 y 2

Temos que

0 y 2 2 x 2 + 3 y 2

0 2 x 2 + 3 y 2 y 2 2 x 2 + 3 y 2 2 x 2 + 3 y 2 2 x 2 + 3 y 2

0 y 2 2 x 2 + 3 y 2 1

Opa, ótimo! Essa expressão é limitada, então pelo teorema do Anulamento:

lim x , y 0 ,   0 y 2 sen 2 x + 3 y 2 x 2 + 3 y 2 = 0

Logo, pra f ser contínua devemos ter L = 0 .

Passo 4

b)

Calcular as derivadas parciais normalmente, além de dar um trabalhão pela função ser zuadassa, não daria certo porque teríamos uma divisão por zero.

Então calculemo-las (tá certo isso?) pela definição:

f x 0 ,   0 = lim x 0 f x , 0 - f 0 ,   0 x - 0

= lim x 0 0 - 0 x = 0

Tranquilo assim né?

E pra outra derivada parcial:

f y 0 ,   0 = lim y 0 f 0 ,   y - f 0 ,   0 y - 0

= lim y 0 y 2 sen 3 y 3 y 2 - 0 y = lim y 0 y 2 sen 3 y 3 y 3

= lim y 0 sen 3 y 3 y = 1

(esse é o limite fundamental do seno)

Passo 5

c)

É colega, se você estava achando a questão fácil até aqui talvez você mude de ideia agora. E se estava achando difícil...ah deixa pra lá. Brincadeira, nesse item só vamos ter que calcular um limite.

Tá bom, é um limitão, mas nada que a gente não consiga fazer! Temos que calcular esse cara e ver se ele dá zero:

lim h , k 0,0 f h , k - f 0 ,   0 - f x 0 ,   0 h - f y 0 ,   0 k h 2 + k 2

Se for o caso, então f é diferenciável em 0 ,   0 .

Passo 6

Esse limite é igual a:

lim h , k 0,0 k 2 sen 2 h + 3 k 2 h 2 + 3 k 2 - 0 - 0 . h - 1 . k h 2 + k 2

Vamos botar o numerador todo no mesmo denominador:

= lim h , k 0,0 k 2 sen 2 h + 3 k 2 h 2 + 3 k 2 - k 2 h 2 + 3 k 2 2 h 2 + 3 k 2 h 2 + k 2

= lim h , k 0,0 k 2 sen 2 h + 3 k - k 2 h 2 + 3 k 2 2 h 2 + 3 k 2 h 2 + k 2

Passo 7

Nada amigável esse limite né... Quando caímos num troço desses é bem provável que o limite não exista. Então vamos tentar provar isso.

Vamos por exemplo calcular o limite pelo caminho k = - h . Ele parece bom porque dentro do seno vamos ter

sen 2 h + 3 k = sen 2 h - 3 h = sen - h = - sen h

Se escolhêssemos h = k por exemplo, teríamos sen 5 h , que é pior de se trabalhar.

Passo 8

Então vamos lá, fazendo k = - h :

lim h 0 h 2 sen 2 h - 3 h + h 2 h 2 + 3 h 2 2 h 2 + 3 h 2 h 2 + h 2

= lim h 0 h 2 sen - h + h 5 h 2 5 h 2 2 h 2

Cortando h 2 em cima e em baixo:

= lim h 0 - sen h + 5 h 5 2 h

Passo 9

Vamos sair dessa cavando um limite fundamental do seno. Pra isso multiplicamos tudo por h :

lim h 0 - sen h h + 5 h 2 5 h 2 h = lim h 0 - sen h h 5 h 2 h + lim h 0 5 h 2 5 h 2 h

= - 1 5 2 lim h 0 sen h h h h + 1 2 lim h 0 h h

Usando o limite fundamental do seno

lim h 0 sen h h = 1 ,

sobra

= - 1 5 2 + 1 2 lim h 0 h h

= 4 5 2 lim h 0 h h

Passo 10

Então basicamente daquilo tudo do começo só sobrou o limite

lim h 0 h h

Fazendo os limites laterais:

lim h 0 + h h = lim h 0 h h = 1

lim h 0 - h - h = - 1

Eles são diferentes, então esse limite não existe. Portanto, o limitão do cálculo do erro também não existe, e a função f não é diferenciável em 0 ,   0 .

Resposta

a)

L = 0

b)

f x 0 ,   0 = 0

f y 0 ,   0 = 1

c)

f não é diferenciável em 0 ,   0 .

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