Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade – Cálculo do Erro

USP, Cálculo 2, P2 - 2012, Questão 1

Seja f x , y = cos x 2 + y 2 3 . Em que pontos de R 2 f é diferenciável? Justifique!

Passo 1

Para ser diferenciável, então temos que encontrar as derivadas parciais dessa função, e jogar no limite abaixo, vendo se ele dá 0 .

lim h , k 0,0 f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 - f x x 0 , y 0 h - f y x 0 , y 0 k h 2 + k 2

Como queremos saber em quais pontos do R 2 ela é diferenciável, vamos fazer as derivadas parciais e ver onde elas existem e são contínuas. Nesses pontos, a função com certeza é diferenciável.

Depois fazemos o limite aí de cima para os pontos onde as derivadas parciais não forem contínuas, e vemos quando ele vale 0 . Os pontos que satisfizerem essa condição, serão aqueles nos quais a função é diferenciável, mesmo se as derivadas parciais não forem contínuas ;)

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Passo 2

Partiu encontrar as derivadas parciais!

f x , y = cos x 2 + y 2 3

Para derivar em relação a x , usamos a regra da cadeia, tratando y como constante. Derivamos a função cosseno, depois o argumento dela, x 2 + y 2 1 3 :

f x x , y = - sen x 2 + y 2 3 . 1 3 x 2 + y 2 - 2 3 . 2 x

E a derivada em relação a y é:

f y x , y = - sen x 2 + y 2 3 . 1 3 x 2 + y 2 - 2 3 . 2 y

Show! Nesse caso, essas derivadas são contínuas em todo o R 2 menos na origem (pelo termo que tem expoente negativo, não podemos mandar 0,0 no denominador).

Logo, podemos garantir que a função é diferenciável em todo R 2 , exceto na origem, pois ainda não podemos afirmar nada sobre a diferenciabilidade no ponto 0,0 .

Mas atenção: o fato de termos um ponto de descontinuidade nas derivadas parciais não exclui a possibilidade da função ser diferenciável! Enfim, não temos, nesse caso, como fugir do limite feio XD

Passo 3

Colocando o ponto problemático em relação a continuidade no limite da diferenciabilidade,

lim h , k 0,0 f 0 + h , 0 + k - f 0,0 - f x 0,0 h - f y 0,0 k h 2 + k 2

Aí temos um problema: quais são os valores das derivadas em 0,0 ? Para saber isso, precisamos fazer a derivada pela definição do limite de derivada parcial:

f x x 0 , y 0 = lim x x 0 f x , y 0 - f x 0 , y 0 x - x 0

Colocando o ponto que queremos saber a derivada, 0,0 :

f x 0,0 = lim x 0 f x , 0 - f 0,0 x - 0 =

lim x 0 cos x 2 + 0 2 3 - cos 0 2 + 0 2 3 x =

lim x 0 cos x 2 3 - 1 x =

Como temos cosseno menos 1 no numerador, é uma boa ideia multiplicar por cosseno mais 1 . Aí teremos cosseno ao quadrado menos 1 , que é o mesmo que seno ao quadrado!

lim x 0 cos x 2 3 - 1 x . cos x 2 3 + 1 cos x 2 3 + 1 =

lim x 0 cos 2 x 2 3 - 1 x cos x 2 3 + 1 =

lim x 0 - sin 2 x 2 3 x cos x 2 3 + 1 =

Passo 4

Aí vem uma carteada que não da pra fugir... Se você observar, temos sin x 2 3 x 2 3 , que é o limite manjado, limitado, que dá 1 (o fato de ser x 2 3 nao muda o limite, basta pensar em fazer substituição k = x 2 3 , ficando sin k k ).

Enfim, para aparecer esse limite aí, temos que mexer no denominador:

lim x 0 - sin 2 x 2 3 x cos x 2 3 + 1 = lim x 0 - sin 2 x 2 3 x 4 3 . x 1 3 cos x 2 3 + 1

Veja que esse manejo é válido porque temos x 1 3 x 4 3 = x 1 3 - 4 3 = x - 1 . Show? Agora vamos colocar esse quadrado do seno pra fora da fração, e passar o menos para fora também:

lim x 0 - sin x 2 3 x 2 3 2 . x 1 3 cos x 2 3 + 1 =

lim x 0 - 1 . 0 1 3 cos 0 2 3 + 1 = 0

E aí está! O limite dá 0 :D Isso significa que a derivada parcial em relação a x no ponto 0,0 é 0 !

Passo 5

Ainda precisamos da derivada em relação a y :/ Mas os cálculos são praticamente idênticos! Fazendo o limite que define a derivada parcial em relação a y , no ponto 0,0 , temos:

f y x 0 , y 0 = lim y y 0 f x 0 , y - f x 0 , y 0 y - y 0

f y 0,0 = lim y 0 f 0 , y - f 0,0 y - 0 =

lim y 0 cos 0 2 + y 2 3 - cos 0 2 + 0 2 3 y =

lim y 0 cos y 2 3 - 1 y =

E agora chegamos numa equação exatamente igual a qual fizemos para o x ! Tipo, exatamente igual mesmo, só muda o fato de que antes tínhamos x onde tem y ! Seguindo os mesmos passos, a coisa tem que dar 0 .

E, então, δ f δ y = δ f δ x = 0 !

Passo 6

Agora voltamos no limite da diferenciabilidade, com as nossas derivadas já calculadas :D

lim h , k 0,0 f 0 + h , 0 + k - f 0,0 - f x 0,0 h - f y 0,0 k h 2 + k 2 =

lim h , k 0,0 f h , k - f 0,0 - 0 h - 0 k h 2 + k 2 =

lim h , k 0,0 cos h 2 + k 2 3 - cos 0 2 + 0 3 h 2 + k 2 =

lim h , k 0,0 cos h 2 + k 2 1 3 - 1 h 2 + k 2 1 2 =

Opa! Está vendo o mesmo que eu? Não tá ficando muito parecido com o limite que fizemos para as derivadas em relação a x e a y ? Vamos fazer uma substituição aqui para não precisar carregar esse h 2 + k 2 para todo lado? Se chamarmos u = h 2 + k 2 , teremos:

lim u 0 cos u 1 3 - 1 u 1 2 =

Multiplicando em cima e em baixo por cos u 1 3 + 1 , teremos:

lim u 0 cos u 1 3 - 1 u 1 2 . cos u 1 3 + 1 cos u 1 3 + 1 =

lim u 0 cos 2 u 1 3 - 1 u 1 2 . 1 cos u 1 3 + 1 =

lim u 0 - sin 2 u 1 3 u 1 2 . 1 cos u 1 3 + 1 =

Aqui, assim como no cálculo das derivadas, queremos que no denominado tenha u 1 3 depois que mandarmos o quadrado para fora.

Então, temos que ter u 2 3 no denominador e u 2 3 - 1 2 no numerador, para compensar e quando dividir um pelo outro sobrar u - 1 2 , que é o u 1 2 do denominador. Fica, então:

lim u 0 - sin 2 u 1 3 u 2 3 . u 2 3 - 1 2 cos u 2 3 + 1 =

lim u 0 - sin u 1 3 u 1 3 2 . u 1 6 cos u 2 3 + 1 =

lim u 0 - 1 . 0 1 6 cos 0 2 3 + 1 = 0

E, enfim, chegamos a conclusão de que a função é diferenciável na origem, pois o limite deu 0 !

Resposta

A função é diferenciável em todos os pontos do R 2

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