Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade – Cálculo do Erro

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2004, p.103 (modificado)

Verifique se a função abaixo é diferenciável em ( 0,0 ) .

f x , y = x 2 + y 2 sen 1 x 2 + y 2 ,     x , y ( 0,0 )     0 ,     x , y = 0,0

Passo 1

Primeiramente, vamos testar a continuidade da função. Temos que testar se

lim x , y 0,0 f x , y = f 0 ,   0

Pra isso calculamos o limite:

lim x , y 0,0 x 2 + y 2 sen 1 x 2 + y 2

Temos

lim x , y 0,0 x 2 + y 2 = 0

E o seno é limitado:

- 1 sen 1 x 2 + y 2 1

Logo, pelo teorema do anulamento:

lim x , y 0,0 x 2 + y 2 sen 1 x 2 + y 2 = 0 = f 0 ,   0

Portanto, a função é contínua na origem, o que não prova nada em relação à sua diferenciabilidade.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então não tem jeito, precisamos achar as derivadas parciais e depois fazer o limite

lim h , k 0,0 f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 - f x x 0 , y 0 h - f y x 0 , y 0 k h 2 + k 2

E ver se ele é zero.

Portanto, calculemos as derivadas parciais em ( 0,0 ) .

Passo 3

Como temos um ponto de indeterminação temos que fazer pela definição. Começando com a derivada em relação a x

f x 0,0 = lim x 0 f x , 0 - f 0,0 x - 0 = lim x 0 x 2 + 0 2 sen 1 x 2 + 0 2 - 0 x = lim x 0 x sen 1 x 2

Aqui basta aplicar o teorema do anulamento que nem fizemos agora a pouco. Temos algo tendendo a zero multiplicando uma expressão limitada

lim x 0 x = 0 - 1 sen 1 x 2 1

Logo,

lim x 0 x sen 1 x 2 = 0 = f x 0 ,   0

Passo 4

Agora vamos para a derivada em relação a y

f y 0,0 = lim y 0 f y , 0 - f 0,0 y - 0 = lim y 0 0 2 + y 2 sen 1 0 2 + y 2 - 0 y = lim y 0 y sen 1 y 2

É um limite idêntico ao anterior então já sabemos que ele é 0

lim y 0 y sen 1 y 2 = 0 = f y 0 ,   0

Passo 5

Agora que vimos que ele tem derivadas parciais precisamos achar

lim h , k 0,0 f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 - f x x 0 , y 0 h - f y x 0 , y 0 k h 2 + k 2 =

lim h , k 0,0 f 0 + h , 0 + k - f 0,0 - f x 0,0 h - f y 0,0 k h 2 + k 2

lim h , k 0,0 h 2 + k 2 sen 1 h 2 + k 2 h 2 + k 2 = lim h , k 0,0 h 2 + k 2 sen 1 h 2 + k 2

Passo 6

De novo, mesmo esquema pra calcular o limite. Aliás, esse é bem parecido com o que fizemos lá no começo.

lim h , k 0,0 h 2 + k 2 = 0 - 1 sen 1 h 2 + k 2 1

Logo,

lim h , k 0,0 h 2 + k 2 sen 1 h 2 + k 2 = 0

O limite loucão deu 0 , então a função é diferenciável em 0,0 .

Resposta

A função é diferenciável em 0,0 .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas