Exercícios Resolvidos de Dipolos Elétricos

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Enunciado

Q . Considere o plano do sistema como sendo o plano x y . Os valores das grandezas indicadas na figura são Q = 5 C , q = 2 C ,   L = 1 m ,   θ = 45 ° . Observe que os valores de Q e q são valores escalares, podendo ser > 0 ou < 0 . Considerando a carga Q fixa e dipolo inicialmente em repouso diga quais são os valores da força e do torque sobre o dipolo, assim como seu movimento inicial imediatamente após ser liberado do repouso.

(Uma observação: realmente existem respostas repetidas... Isso foi um erro de prova, beleza?)

Escolha uma:

  1. Força: k ( - 14,14 ; 0 ; 0 ) ; Torque: k ( 0 ; 0 ;   - 10 ) ; o movimento será uma composição de uma translação para a esquerda com uma rotação em sentido horário.
  2. Força: k ( - 14,14 ; 0 ; 0 ) ; Torque: k ( 0 ; 0 ;   - 10 ) ; o movimento será uma composição de uma translação para a esquerda com uma rotação em sentido horário.
  3. Força: k ( 14,14 ; 0 ; 0 ) ; Torque: k ( 10 ; 0 ;   0 ) ; o movimento será uma composição de uma translação para a direita com uma rotação em sentido horário.
  4. Força: k ( 14,14 ; 0 ; 0 ) ; Torque: k ( 0 ; 0 ;   - 10 ) ; o movimento será uma composição de uma translação para cima com uma rotação em sentido anti-horário.
  5. Força: k ( - 14,14 ; 0 ; 0 ) ; Torque: k ( 0 ; 0 ;   - 10 ) ; o movimento será uma composição de uma translação para a esquerda com uma rotação em sentido horário.
  6. Força: k ( 0 ; - 14,14 ; 0 ) ; Torque: k ( 10 ; 0 ;   0 ) ; o movimento será uma composição de uma translação para baixo com uma rotação em sentido anti-horário.

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas não é, saca só! A ideia aqui é desenhar as forças que agem sobre as partículas desse dipolo e analisar quais componentes se anulam e quais se somam, resultando no movimento final.

Então segue o esquema das forças:

Aqui a gente vê que a rotação será em sentido horário. E quanto à translação? As forças estão representadas nas partículas do dipolo (vetores de linhas mais grossas, em vermelho e em azul). As componentes verticais das forças não resultarão em translação, mas as componentes horizontais sim, pois se somam. Elas apontam para a esquerda (são os vetores mais finos, representados em vermelho e azul no desenho).

Então teremos uma composição: rotação em sentido horário e translação para a esquerda.

Vamos calcular o módulo da força e do torque?

Passo 2

Primeiro a força: como cada carga do dipolo possui em módulo o mesmo valor, a força resultante vai ser duas vezes a força entre um par Q q . A componente que nos interessa é a horizontal, então:

F R = 2 F c o s θ = 2 F c o s 45

F R = 2 . 2 2 F = 2 F

E a força entre duas cargas é:

F = k q Q d 2 = k 5.2 1 2 = 10 k

Assim a força resultante é:

F R = 2 . 10 k = 14,14 k

E a direção? Já sabemos que é horizontal para a esquerda, então em notação vetorial a força resultante é:

F R = k ( - 14,14 ; 0 ; 0 )

Passo 3

E por fim o torque!

Aqui embaixo vou fazer um esquema da componente da força que vai realizar torque (componentes verticais) com os vetores braço de alavanca (que unem cada carga ( q , - q ) ao centro do dipolo – vetor em verde):

Note que nas duas cargas, usando a regra da mão direita, o torque é na direção - z . Então podemos somar as duas contribuições (você nem precisaria observar isso, vai sair naturalmente nas contas daqui a pouco).

O ângulo entre a força e o deslocamento é 45 ° . O braço de alavanca é L c o s 45 .

Daí o torque sobre uma das cargas é:

τ = F . L c o s 45 . s e n 45

E o torque resultante vai ser a soma dos dois:

τ = τ + q + τ - q = 2 . F . L c o s 45 . s e n 45

A força é 14,14 k , então:

τ = 2.10 k . 1 2 2 . 2 2 = 10 k

E a direção? Pela regra da mão direita vimos que é – z ^ , mas podemos confirmar matematicamente.

Olhando a carga + q , vetor força é na direção ( - 1,1 , 0 ) e o vetor braço de alavanca é na direção ( 1,0 , 0 ) e a direção do torque vai ser dado pelo produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ - 1 1 0 1 0 0 = - k ^

Agora olhando pra carga – q : o vetor força tem direção ( - 1 . - 1,0 ) e braço de alavanca ( - 1,0 , 0 ) , assim o produto escalar entre eles fica assim:

i ^ j ^ k ^ - 1 - 1 0 - 1 0 0 = - k ^

Viu só? Os dois vetores apontam na mesma direção, então fez todo sentido a gente somar os torques lá no começo desse passo.

Passo 4

Agora vamos recapitular os resultados:

O torque:

τ = ( 0,0 , = 10 k )

A força:

F = ( - 14,14 k , 0,0 )

O movimento: translação para esquerda e rotação no sentido horário.

Beleza?

E analisando as alternativas, a correta é a (a).

Espero ter ajudado!

Resposta

( a )

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