Exercícios Resolvidos de Dipolos Elétricos

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Enunciado

Uma partícula com carga q deve ser trazida de longe para um ponto próximo a um dipolo elétrico. Nenhum trabalho é feito se a posição final da partícula estiver sobre:

(a) a linha através das cargas do dipolo.

(b) uma linha que faz um ângulo de 30 ° com o momento dipolar.

(c) uma linha que faz um ângulo de 45 ° com o momento dipolar.

(d) uma linha perpendicular e que passa pelo centro do momento de dipolo.

(e) nenhuma das alternativas acima.

Passo 1

Primeiramente, vamos relembrar o que é um dipolo elétrico.

Um dipolo elétrico é um sistema formado por duas cargas pontuais de mesmo módulo e sinais contrários ( Q   e - Q ) separados por uma distância 2 d . Veja a figura abaixo.

O ponto O é o centro do dipolo. O vetor   r → localiza o ponto onde está sendo calculado o potencial p o n t o   P .

O potencial gerado por este dipolo segue o princípio da superposição, isto é, o potencial resultante é igual a soma dos potenciais gerados por cada carga. Matematicamente,

V = V + + V - = k Q | r → + | - k Q r → -

com k a constante eletrostática.

Agora, vamos relembrar a definição de trabalho.

O trabalho do dipolo sobre um carga pontual q pode ser calculado a partir da seguinte equação

W = - q Δ V = - q V f - V i

sendo V i e V f o potencial gerado pelo dipolo sobre a carga q nas posições inicial e final da trajetória, respectivamente.

Assim, no próximo passo, vamos analisar as condições para que W = 0 . Simbora!

Passo 2

O potencial V i gerado pelo dipolo sobre a posição inicial da carga q é dado por

V i = k Q | r → + i | - k Q r → - i  

sendo   r → + i e   r → - i os vetores que vão das cargas Q e - Q , respectivamente, até a posição inicial da carga q .

O enunciado diz que, inicialmente, a carga q está muito afastada do dipolo elétrico. Assim, podemos dizer que a posição inicial da carga q é tal que

r → + i → ∞                     e                     r → - i → ∞

Desta forma, utilizando a expressão para o potencial V i do dipolo, temos que

V i = lim r → + i → ∞ r → - i → ∞ ⁡ k Q | r → + | - k Q r → - =   0

isto é, o potencial gerado pelo dipolo a uma distância muito grande do mesmo é nulo.

Portanto, a expressão para o trabalho do dipolo sobre a carga fica

W = - q V f - V i = - q V f - 0 = - q V f

Deste modo, para que W = 0 , devemos ter necessariamente V f = 0 .

Assim, precisamos achar algum ponto em torno do dipolo em que o potencial seja nulo.

Veremos isso no próximo passo.

Passo 3

Vamos tentar entender sobre a posição final da carga q .

No passo 1, vimos que o potencial gerado pelo dipolo é dado por

V = k Q r → + - k Q r → -

No passo 2, concluímos que para W = 0 , então V f = 0 , isto é, o potencial gerado pelo dipolo sobre a carga q na posição final do mesmo deve ser nulo.

Desta forma, temos que

V f =   k Q r → + f - k Q r → - f = 0                     ↔                     r → - f = r → + f

isto é, a posição final da carga tem que ser tal que r → - f = r → + f .

Analisando a primeira figura, vemos que isso ocorre quando as cargas e ponto final da trajetória formam um triângulo isósceles, com os vetores   r → + e   r → - de mesmo tamanho. Veja a figura abaixo.

Assim, pela figura anterior, temos que r → - f = r → + f quando o vetor   r → faz um ângulo de 90 ° com o dipolo elétrico.

Concluímos então que o potencial é nulo em qualquer ponto da linha que passa pelo centro do dipolo e faz um ângulo de 90 ° com o dipolo.

Portanto, analisando as alternativas, vemos que a alternativa correta é a letra ( d ) .

Resposta

L e t r a   ( d )

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