Enunciado

Na Figura abaixo, um dipolo elétrico está centralizado na origem, com o vetor momento de dipolo elétrico  p → apontando para o eixo + O y . Deduza uma expressão para o campo elétrico ao longo do eixo O y , considerando y muito maior do que d .

Use a série binomial 1 + x n = 1 + n x + n - 1 x 2 2 + … , para o caso x > 1 .

Passo 1

Neste exercício, a gente precisa calcular o campo elétrico resultante | E → R , y | , no ponto P da Figura acima, produzido pelo par de cargas pontuais fixas + q e – q e depois tomar o limite para o obter o valor desse campo resultante quando P tem uma distância y ≫ d . Blz? Vamos lá?

Bom, o módulo do campo elétrico produzido pela carga positiva + q em P é:

E → + = q 4 π ε 0 y - d 2 2     ,

e pela carga negativa – q é

E → - = q 4 π ε 0 y + d 2 2       .

O campo elétrico resultante vai estar na direção do eixo O y e tem módulo dado por

E → R , y = q 4 π ε 0 1 y - d 2 2 - 1 y + d 2 2     .

Tranquilo? O módulo do campo resultante é a diferença entre os módulos: | E → R , y | = E → + - E → - .

Passo 2

Agora, para a gente obter o valor desse módulo para y ≫ d , vamos escrever os termos em que y aparece na última expressão do passo anterior da seguinte forma

1 y - d 2 2 = y - d 2 - 2 = y - 2 1 - d 2 y - 2   .

Tranquilo?? Só isolamos o y e colocamos para fora dos parênteses, OK?

Para usar a expressão da expansão binomial que foi dada, a gente pode fazer x = - d 2 y e n = - 2 lá na naquela expressão do binômio. Com isso, teremos que

1 y - d 2 2 ≈ y - 2 1 + - 2 - d 2 y + - 2 - 1 2 - d 2 y 2 + …   ,

que, reorganizado, fica assim

1 y - d 2 2 ≈ 1 y 2   1 + d 2 y - 3 2 d 2 4 y 2 + …       .

Para o outro termo do campo elétrico resultante | E → R , y | , teremos, de maneira similar ( x = d 2 y e n = - 2 !!), o seguinte

1 y + d 2 2 ≈ 1 y 2 1 - d 2 y - 3 2 d 2 4 y 2 + …   .

Nesse tipo de expansão, a minha sugestão é que você reconheça na expressão que você quer expandir quem é x e quem é n . Depois de fazer isso, vai lá para expressão da binomial e substitui esses termos lá, OK?? Daí não vai ter erro...vai por mim...;-)

Bom, mas ainda não acabou o problema...

Passo 3

Agora precisamos substituir essas duas últimas expansões lá na expressão do campo resultante. Mas, olha só, a gente tem termos do tipo d 2 / ( 4 y 2 ) nessas expressões, correto?

Como y ≫ d

d 2 y 2 ≪ 1 ⇒ d 2 4 y 2 ≪ 1 .

Isso significa que a gente pode desprezar termos dessa ordem na expansões que acabamos de fazer, blz?

Fazendo isso e já substituindo no módulo do campo elétrico resultante | E → R , y | , vamos ter que

E → R , y ≈ q 4 π ε 0 y 2 1 + d y - 1 - d y = q 2 π ε 0 d y 3     .

Como o vetor momento de dipolo elétrico é dado por   p → = q d → , então p → = p = q d , temos

E → R , y ≈ p 2 π ε 0 y 3     .

Agora, dá uma olhada para essa expressão. Diferente do caso do campo elétrico gerado por uma única carga pontual, | E → R , y | depende do inverso da distância ao cubo: 1 y 3 !!! Esse é um comportamento geral do campo elétrico produzido por um dipolo elétrico em pontos a distâncias muito grandes comparadas com a distância entre as cargas + q e – q . Fechou??

IMPORTANTE: Exercícios com expansões como essa que a gente fez aqui são muito comuns, OK? Então, tente reconhecer quais termos da sua expressão são x e n e, depois disso, jogue esses valores lá na expansão binomial para não ter erro, valeu…??

Resposta

E → R , y ≈ p 2 π ε 0 y 3     .

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