Exercícios Resolvidos de Dipolos Elétricos

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Enunciado

Duas partículas de cargas + q e – q são posicionadas sobre o eixo Y de um sistema de coordenadas, de forma que elas se encontram em y = a e y = - a ( a > 0 ), respectivamente. Considere um ponto P sobre o eixo X , a uma distância x da origem. Se este ponto está muito distante da origem, de forma que x ≫ a , podemos afirmar que o campo elétrico produzido pelas partículas neste ponto tem intensidade proporcional a:

  1. 1 / x 2
  2. 1 / x 3
  3. 1 / x
  4. 1 / a 3
  5. 1 / a 2
  6. 1 / a

Passo 1

Pra gente matar essa questão, vamos colocar o que o enunciado diz na figura abaixo. O campo elétrico  E → + gerado pela carga positiva + q é de afastamento e está ao longo da reta A P . Já o campo  E → - , devido à – q , se aproxima desta carga e está o longo do segmento de reta B P . O campo resultante E → R que vamos encontrar é aquele devido a um dipolo elétrico, que é exatamente o que temos aqui.

Como essas duas cargas têm o mesmo módulo e estão à mesma distância r do ponto P , as componentes dos campos  E → + E → - na direção do eixo x tem a mesma direção, o mesmo módulo, mas sentidos opostos e por isso se cancelam. Basta, então, olharmos para as componentes desses campos na direção y . Quando a gente somar essas componentes em y vamos ter o campo elétrico E → R resultante no ponto P , que vai estar apontando na direção e sentido de - y ^ .

Passo 2

O campo resultante no ponto P será

E → R = 2 E → cos ⁡ 90 ˚ - θ - y ^ ,  

em que o módulo | E → | é dado por

E → = E → + = E → - = q 4 π ε 0 r 2 = q 4 π ε 0 a 2 + x 2   ,  

e, do triângulo retângulo da figura, tiramos que

cos ⁡ 90 ˚ - θ = sin ⁡ θ = a a 2 + x 2   .

Juntando tudo na expressão para o campo resultante  E → R no ponto P :

E → R = 2 q a 4 π ε 0 a 2 + x 2 3 2 - y ^   .

Quando fazemos x ≫ a , podemos simplificar a expressão acima para

E → R ≈ 2 q a 4 π ε 0 x 3 - y ^ ,

mostrando que, nesse limite, o campo elétrico resultante será proporcional a 1 / x 3 , que é como o campo elétrico produzido por um dipolo elétrico se comporta para distâncias muito grandes.

Resposta

Letra b.

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