Exercícios Resolvidos de Distância entre Reta e Plano

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Enunciado

Se P = (a,b,c) e P’ = (a’,b’,c’) são pontos da reta r: X = 1,1 , 1 + λ 2,0 , 1 ,     λ ∈ R , que distam 1 √ 3 do plano π : x - y + z - 3 = 0 , então a+b+c+a’+b’+c’ é igual a:

Passo 1

Falaaaa, blz???? Vamos começar essa questãozinha envolvendo distancia entre pontos de uma reta e plano.

Vou deixar um desenho aqui sobre o que está acontecendo, pois as vezes desenhando aparece uma motivação para resolvermos a questão.

Tem várias formas de fazer essa questão, no finalzinho vou deixar uma sugestão para fazer de forma diferente do que faremos aqui.

Para fazer essa questão vamos usar a fórmula que nos da a distância de um ponto P qualquer do plano.

Tendo P = x 0 , y 0 , z 0   e   π : a x + b y + c z = d

d P , π = | a x 0 + b y 0 + c z 0 - d | a 2 + b 2 + c 2

Passo 2

Vamos tomar um ponto P da reta que dista 1 √ 3 do plano, ele será da forma P = 1 + 2 λ , 1,1 + λ e a equação do nosso plano sendo x - y + z = 3

Vale ressaltar que vão existir dois pontos da reta que distam 1 √ 3 (olhe para figura que ficará mais claro), porém quando colocarmos na fórmula os 2 valores irão aparecer (tenha fé)

Agora basta aplicar a fórmula e igualar ao dado do enunciado.

d P , π = 1 + 2 λ - 1 1 + 1 + λ - 3 1 2 + 1 2 + 1 2 = 1 √ 3

| 3 λ - 2 | = 1

Daqui temos duas possibilidades, λ = 1 ou λ = 1 3

Passo 3

Segue então que nós temos dois pontos (um para cada λ )

Para λ = 1 :

P = 1 + 2 λ , 1,1 + λ = 3,1 , 2

Para λ = 1 3 :

P ' = 1 + 2 3 , 1,1 + 1 3 = ( 5 3 , 1 , 4 3 )

Logo, a soma das coordenadas é 3 + 1 + 2 + 5 3 + 1 + 4 3 = 10

Como prometi, uma outra sugestão para resolução da questão seria achar o ponto de interseção entre o plano e a reta (basta colocar P = 1 + 2 λ , 1,1 + λ na equação do plano) e depois vira um problema mais simples, tendo em vista que você sabe a distância de um outro ponto da reta até o ponto de interseção (distância entre pontos). Fazendo isso daria certo também, admito que esse foi meu primeiro pensamento ao desenhar o que estava ocorrendo, porém é importante colocarmos em prática algumas fórmulas.

Resposta

10

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Determine a equação do plano constituído de todos os pontos que são equidistantes dos pontos ( - 4,2 , 1 ) e ( 2 ,- 4,3 ) .
Determine a equação do plano constituído de todos os pontos que são equidistantes dos pontos (1,1,0) e (0,1,1).
Escreva as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P=( 1 ,2 ,3 ) e é perpendicular ao plano x-3 y+2 z=1 .
Determinar a distância da retar : {[[x = 3],[y = 4]]) d) ao plano pi : x + y - 12 = 0
Determinar a distância da retar : {[[x = 3],[y = 4]]) c) ao eixo dos z