Exercícios Resolvidos de Distância entre Reta e Plano

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Enunciado

Seja r a reta que passa pela origem e é paralela ao vetor ( 1,1 , 0 ) . Se P = ( a , b , c ) é um ponto do plano

π : x - y - z = 0

Tal que a distância de P à reta r seja igual a 1, então:

a )   c 2 = 1 ;  

b )   c 2 = 1 3 ;

c )   c 2 = 2

d )   c = 0 ;

e )   c 2 = 2 3 .

Passo 1

Faaalaa, beleza?? Bora lá para mais uma questãozinha dessa prova, agora envolvendo distância entre ponto e reta.

Para entendermos o que iremos fazer, bora escrever a fórmula para calcular distância entre ponto e reta e depois vemos o que precisamos. Se tivermos um esqueminha do tipo:

Temos que d P , r = ( P - A )   ×   v | v |

Passo 2

Ou seja, para acharmos a distância entre um ponto P = ( a , b , c ) e uma reta r que tenha v como vetor diretor basta pegarmos um ponto A da reta e aplicar a fórmula.

Agora veja que pelo enunciado, temos que A = 0,0 , 0 ∈ r e v = 1,1 , 0   \ \   r , ou seja, temos que:

d P , r = P - A ×   v v = | a , b , c - 0,0 , 0   × ( 1,1 , 0 ) | 2

Ou seja:

d P , r = | ( a , b , c )   × ( 1,1 , 0 ) | 2

Dai, vamos calcular ( a , b , c )   × ( 1,1 , 0 ) :

a , b , c × 1,1 , 0 =   i j k a b c 1 1 0

E portanto, temos por laplace na primeira linha:

a , b , c × 1,1 , 0 = i b c 1 0 - j a c 1 0 + k a b 1 1

Ou seja, temos que a , b , c × 1,1 , 0 = ( - c , c , a - b )

Passo 3

Agora, podemos notar que como P = a , b , c   ∈ π , colocando na equação do plano temos que:

a - b - c = 0

Ou ainda

c = a - b

Por isso, temos que:

a , b , c × 1,1 , 0 = - c , c , a - b = ( - c , c , c )

E disso, tiramos que:

a , b , c × 1,1 , 0 = 3 c 2

E colocando na fórmula:

d P , r = 3 c 2 2 = 1

Ou seja, temos que

c 2 = 2 3

Assim chegamos ao fim de outro probleminha, bora para o próximo?

Resposta

Letra E

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação do plano constituído de todos os pontos que são equidistantes dos pontos ( - 4,2 , 1 ) e ( 2 ,- 4,3 ) .
Determine a equação do plano constituído de todos os pontos que são equidistantes dos pontos (1,1,0) e (0,1,1).
Escreva as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P=( 1 ,2 ,3 ) e é perpendicular ao plano x-3 y+2 z=1 .
Determinar a distância da retar : {[[x = 3],[y = 4]]) d) ao plano pi : x + y - 12 = 0
Determinar a distância da retar : {[[x = 3],[y = 4]]) c) ao eixo dos z