Exercícios Resolvidos de Distância entre Reta e Plano

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Enunciado

Decida quais das afirmações é verdadeira e qual é falsa. Justifique.

  1. O lugar geométrico dos pontos P x , y , z , tais que 2 x + y = 1 , é uma reta.
  2. Os planos ∏ 1 : a x + 4 y + z = 0 e ∏ 2 : 2 x + 3 y + 5 z + 7 = 0 , são transversais para todo valor de a ∈ R .
  3. A distância do ponto 1,0 , 0 até a reta de interseção dos planos x = 1 , e y + z = 3 , é menor que 2,5.

Passo 1

Bom, queremos verificar agora a distância do ponto ( 1,0 , 0 ) a reta obtida pela interseção dos dois planos.

Nosso primeiro passo então é obter esta reta, que é dada pela solução do seguinte sistema:

r : x = 1 y + z = 3

Portanto, um ponto P = x , y , z pertence a reta se ele satisfaz o sistema acima. Substituindo x = 1 e y = 3 - z na equação do ponto, temos:

x , y , z = 1,3 - z , z

x , y , z = 1,3 , 0 + 0 , - z , z

Colocando o z em evidência, temos:

x , y , z = 1,3 , 0 + z 0 , - 1 , 1

Passo 2

Agora, podemos calcular a distância entre a reta e o ponto. Seja A = 1,0 , 0 o ponto dado na questão, B = 1,3 , 0 um ponto pertencente a reta (poderia ser qualquer ponto, então pegamos o ponto explicitado na equação da reta) e r → = 0 , - 1,1 um vetor diretor da reta (novamente, poderia ser qualquer vetor diretor, mas pegamos o já explicitado na equação da reta).

Para calcularmos a distância entre o ponto A e a reta r , basta utilizarmos a seguinte relação:

d A , r = | | A B → ∧ r → | | | | r → | |

Vamos começar calculando o vetor A B → . Então,

A B → = B - A = 1,3 , 0 - 1,0 , 0 = ( 0,3 , 0 )

Agora, vamos calcular o produto vetorial A B → ∧ r → . Portanto,

A B → ∧ r → = i j k 0 3 0 0 - 1 1 = 3 - 0 i + 0 - 0 j + 0 - 0 k

A B → ∧ r → = 3 i + 0 j + 0 k = 3,0 , 0

Agora, para podermos finalizar a questão e checarmos se a distância realmente é menor que 2,5, falta obtermos as normas destes vetores. Lembrando que a norma é a raiz da soma dos quadrados das coordenadas (a base é a canônica, que é ortonormal), temos:

| | A B → ∧ r → | | = 0 2 + 3 2 + 0 2 = 3

| | r → | | = 0 2 + - 1 2 + 1 2 = 2

Portanto, a distância é:

d A , r = 3 2 = 3 2 2 < 2,5

Portanto, a afirmação é verdadeira!

Resposta

A afirmativa é verdadeira.

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Determine a equação do plano constituído de todos os pontos que são equidistantes dos pontos ( - 4,2 , 1 ) e ( 2 ,- 4,3 ) .
Determine a equação do plano constituído de todos os pontos que são equidistantes dos pontos (1,1,0) e (0,1,1).
Escreva as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P=( 1 ,2 ,3 ) e é perpendicular ao plano x-3 y+2 z=1 .
Determinar a distância da retar : {[[x = 3],[y = 4]]) d) ao plano pi : x + y - 12 = 0
Determinar a distância da retar : {[[x = 3],[y = 4]]) c) ao eixo dos z